Умова центру для кубiчної диференцiальної системи, яка має iнтегруючий множник

Анотація

Розглянуто двовимірну кубічну диференціальну систему

\centerline{$ \dot x = y + p_2(x,y) + p_3(x,y),\quad \dot y = -x +
q_2(x,y) + q_3(x,y)$}

\noindent із особливою точкою $O(0; 0)$ і з чисто уявними коренями
характеристичного рівняння $\lambda_{1,2}=\pm i$, де
$p_j(x,y)$ и $q_j(x,y)$ однорідні многочлени степеня
$j$. Для даної системи вивчено проблему розрізнення центра і
фокуса за наявності однієї алгебраїчної інваріантної кривої
третього порядку.
У роботі отримані необхідні і
достатні умови існування незвідної інваріантної кривої
третього порядку {$
a_{30}x^3+a_{21}x^2y+a_{12}xy^2+a_{03}y^3+x^2+y^2=0$,} де
$(a_{30}, a_{21}, a_{12}, a_{03})\not=0$.

Доведено, що якщо інваріантна крива має один із таких
трьох виглядів $\Phi_1\equiv 2(2b - c + g + 3l)x^3 + 6ax^2y + 6(b +
l)xy^2 - 3y^3 + 3(x^2 + y^2)=0$, $\Phi_2\equiv (24g - 4bf - 6b +
2cf + 3c + 16fg + 12gr)x^3 + 6(2a - 6f - 4r - 9)(4f + 3r + 6)x^2y
+ 3(4bf + 4br + 6b + 6cf + 4cr + 9c)xy^2 + 6(4f + 3r + 6)(x^2 +
y^2 -y^3)=0 $, $\Phi_3\equiv ((4b+3c)x-15y)^3+3375(x^2+y^2)=0$,
то кубічна диференціальна система має інтегруючі
множники

\centerline{$\mu=\Phi_1^{(2b-c)/(2l)}$, $\mu=\Phi_2^{-2(4f + 3r +
6)/(6f + 4r + 9)}$, $\mu=\Phi_3^{-5/3},$}

\noindent які визначені в деякому околі початку координат.

Для кубічної диференціальної системи з інтегруючим
множником одержано три нові умови існування
центра в особливій точці $O(0; 0)$.