УМОВИ IСНУВАННЯ ТА АСИМПТОТИКА РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОГО КЛАСУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Анотація

Для диференціального рівняння другого порядку виду $y''=\alpha_0
p(t)\varphi_0(y)|y'|^{\sigma_1},$ де
$\alpha_0\in\{-1,1\}$,$p:[a,\omega[\longrightarrow]0,+\infty[$-неперервна функція,
$\varphi_0:\Delta_{Y_i}\longrightarrow ]0,+\infty[ \
$ -неперервна правильно змінна при $y\to Y_0 $ функція порядку
$\sigma_0 $, причому $\sigma_0+\sigma_1 = 1$,
$\Delta_{Y_i}$- односторонній окіл $Y_i$, $Y_i \in\{0,\pm \infty\}\;
(i\in\{0,1\})$ розглянуто питання існування розв'язків, для яких
$\liml_{t\uparrow\omega} y^{(i)}(t)=Y_i$ $(i\in\{0,1\})$.

Залучення у 80-х рр. XX ст. в працях V.Mari\v{c}, M. Tomi\v{c} при
вивченні двочленних диференціальних рівнянь другого порядку з
правильно змінними в нулі нелінійностями $y''=p(t)\varphi(y)$
дало змогу вказати двубічні оцінки розв'язків, що прямують до нуля при $t\rightarrow+\infty$.
Подальше вивчання двочленних диференціальних рівнянь другого порядку
з правильно змінними нелінійностями, права частина яких зберігає в
околі особливій точки (як скінченній, так и рівній $\pm \infty$)
знак, проведено на виділеному В.М.Євтуховим класі
$P_\omega(\lambda_0)-$ розв'язків, що виникає при дослідженні
узагальнених рівняннях Емдена - Фаулера $n-$го порядку.
Серед множини розв'язків вивчаемого рівняяня відокремлюємо достатньо широкий клас
т. з. $P_\omega(Y_0,Y_1,\lambda_0)$- розв'язків (узагальнення $P_\omega(\lambda_0)-$ розв'язків).
Множина усіх $P_\omega(Y_0,Y_1,\lambda_0)-$ розв'язків за своїми асимптотичними
властивостями розпадається на 4 непертинаючихся класів розв'язків,
що відповідають наступним значенням $\lambda_0$: $\lambda_0\in
\mathbb{R}\setminus\{0,1\}-$ неособливий випадок, $\lambda_0=0,$
$\lambda_0=1$, $\lambda_0=\pm \infty-$ особливі випадки.
Такого типу розв'язки раніше було уведено при вивченні
двочленного рівняння $ y''=\alpha_0p(t)\varphi_0(y)\varphi_1(y'),$
де $\alpha_0\in\{-1,1\}$,
$p:[a,\omega[\longrightarrow]0,+\infty[$--неперервна функція,
$\varphi_i:\Delta_{Y_i}\longrightarrow ]0,+\infty[ \
(i=0,1)$ --неперервні правильно змінні при $z\to Y_i \ (i=0,1)$ функції
порядків $\sigma_i \ (i=0,1)$, причому $\sigma_0+\sigma_1 \neq 1$.
Випадок $\sigma_0+\sigma_1 =1$ відповідає т.з. полулінійним
диференціальним рівнянням, яким притаманні властивості як лінійних,
так и нелінійних диференціальних рівнянь. Так, для рівняння
$y''=p(t)|y|^{1-\lambda}|y'|^\lambda \mbox{sgn}\;y$ при деяких
обмеженнях на функцію $p$ (зокрема, якщо функція
$p:[a,\omega[\longrightarrow]0,+\infty[$ зберігає знак, локально
абсолютно неперервна і $\intl_a^\omega
p^{\frac{1}{2-\lambda}}(t)\;dt=+\infty,$ $ \liml_{t\rightarrow
\omega}p'(t)p^{\frac{\lambda-3}{2-\lambda}}(t)=l_0 $ $
(|l_0|\leq+\infty),$ В.М.Євтуховим знайдено
асимптотичні зображення при $t\rightarrow \omega$ усіх типів правильних розв'язків цього рівняння.
Тут для рівняння, що вивчаємо, знайдено необхідні, а також достатні
умови існування $P_\omega(Y_0,Y_1,\lambda_0)$- розв'язків,
встановлено асимптотичні зображення таких розв'язків та їх похідних
першого порядку, вказано кількість параметричних сімей таких
розв'язків.