АСИМПТОТИЧНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ З ПОВIЛЬНО ЗМIННИМИ ПОХIДНИМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З ДОБУТКОМ РIЗНОГО ТИПУ НЕЛIНIЙНОСТЕЙ
Анотація
Iстотно нелiнiйнi неавтономнi диференцiальнi рiвняння почали виникати на практицi
з другої половини дев’ятнадцятого столiття при дослiдженнi реальних фiзичних проце-
сiв атомної i ядерної фiзики, а також, астофiзики. У роботi розглядається диференцiале
рiвняня, яке мiстить у правiй частинi добуток правильно та швидко змiнних нелiнiйно-
стей вiд невiдомої функцiї та її похiдної першого порядку. Окремi випадки таких рiвнянь
виникають, насамперед, у теорiї горiння та теорiї плазми. Першi важливi результати
щодо асимптотичної поведiнки розв’язкiв таких рiвнянь було отримано для диференцi-
ального рiвняння другого порядку, яке у правiй частинi мiстило добуток степеневої та
експоненцiальної нелiнiйностей. Для загального випадку таких рiвнянь результатiв ранi-
ше отримано не було. У зв’язку з цим, дослiдження асимптотичної поведiнки розв’язкiв
нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять добуток правильно та
швидко змiнних нелiнiйностей при прямуваннi аргументу або до нуля, або до нескiнчен-
ностi, є актуальним не лише з теоретичної, а й з практичної точки зору. У данiй роботi
дослiджуються асимптотичнi зображення, а також необхiднi i достатнi умови iснування
Pω(Y0,Y1,±∞)-розв’язкiв такого рiвняння. Цей клас розв’язкiв є одним з найскладнiших
для дослiдження за рахунок того, що, зважаючи на апрiорнi властивотсi функцiй цього
класу, їх похiдна другого порядку у явному виглядi не виражається через похiдну першого
порядку. Результати, отриманi у цiй статтi доповнюють отриманi ранiше результати для
Pω(Y0,Y1,±∞)-розв’язкiв дослiджуваного рiвняння щодо достатнiх умов їх iснування та
кiлькостi.
Завантаження
Посилання
[1] Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its
applications. Cambridge university press, Cambridge, 1987.
[2] Chepok O.O. Asymptotic representations of solutions with slowly varying derivatives of the second order
differential equations with rapidly and regularly varying nonlinearities. Research in Mathematics and
Mechanics. 2018, 23 2(32), 108–117. doi:10.18524/2519-206x.2018.2(32).149708 (in Ukrainian)
[3] Evtukhov V. M. Asymptotic representations of solutions of non-autonomous ordinary differential equa-
tions: dis. Dr. Phys.-Math. Sciences: [spec.] 01.01.02 « Differential equations ». Odessa nat. University
named after I.I. Mechnikov. Odessa, 1997.
[4] Evtukhov V. M., Chernikova A. G. On the asymptotics of solutions of second-order ordinary differential
equations with rapidly varying nonlinearities. Ukr. Math. journal. 2019,71 (1), 73–91. (in Russian)
[5] Evtukhov V.M., Drik N.G. Asimptotic behavior of solutions of a second order nonlinear differention
equation. Georgean mathematical journal. 1996, 3 (2), 123–151
[6] Evtukhov V.M., Samoilenko A.M. Asymptotic representation of solutions of nonautonomous ordinary
differential equations with correctly varying nonlinearities. Different. equations. 2011,47 (5), 628–650(in
Russian)
[7] Evtukhov V.M., Samoilenko A.M. Conditions for the existence of solutions disappearing at a singular
point in real nonautonomous systems of quasilinear differential equations. Ukr. Math. journal. 2010, 62
(1), 52–80. ISSN 1027-3190.(in Russian)
[8] Maric V. Regular Variation and differential equations. Springer (Lecture notes in mathematics,
1726).2000.
[9] Seneta E. Regularly varying functions. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag. 1976, 508.
doi:10.1007/BFb0079658
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
