АБСТРАКТНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З ДВОМА МАЛИМИ ПАРАМЕТРАМИ I ЛIПШIЦЕВИМИ НЕЛIНIЙНОСТЯМИ

Анотація

У дійсному гільбертовому просторі $H$ розглянуто таку сингулярно збурену задачу Коші

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\varepsilon u''_{\varepsilon \delta}(t)+\d\,u'_{\varepsilon \delta}(t)+
A u_{\varepsilon \delta}(t)+ B\big(u_{\varepsilon \delta}(t)\big)=f(t), \quad t \in (0, T), \\
u_{\varepsilon \delta}(0)=u_{0},\quad u'_{\varepsilon \delta}(0)=u_{1},\
\end{array} \right. \eqno {(P_{\varepsilon \delta})}
$$
де $u_{0}, u_1\in H, f: [0,T] \to H$ и $\varepsilon, \delta$ -
малі параметри. Досліджено поведінку розв'язків
$u_{\varepsilon\delta}$ задачи ($P_{\varepsilon \delta}$) в
у двох випадках:
\newline
$(i)$ $\varepsilon\to 0$ и $\delta \geq \delta_0>0 $, відносно
розв'язків такої незбуреної задачі:
$$
\begin{cases}
\delta l_\delta'(t)+ A l_\delta(t)+B\big(l_\delta(t)\big)=f(t),\quad t\in(0,T),\\
l_\delta(0)=u_0;\end{cases}
\eqno(P_{\delta})
$$
$(ii)$ $\varepsilon\to 0$ и $\delta \to 0$,
відносно
розв'язків незбуреної задачі:
$$
A v(t)+B\big(v(t)\big)= f(t),\quad t\in[0,T),
\eqno(P_{0})
$$
Задача ($P_{\varepsilon \delta}$) є абстрактною моделлю
сингулярно збурених задач гіперболічно-параболічного типу у
випадку (i) і гіперболічно-параболічно-еліптичного типу у випадку
(ii). Подібні задачі виникають у різноманітних областях науки
і техніки.

На відміну від інших методів, даний метод грунтується на двох ключових
позиціях. По--перше, одержано формулу, яка зв'язує розв'язок
задачі Коші для абстрактного лінійного диференціального рівняння
другого порядку з відповідним розв'язком задачі для рівняння
першого порядку. По--друге, отримано {\ it апріорні}
оцінки розв'язків, які є рівномірними щодо малого
параметра. Крім того, досліджено задачу $(P_{\varepsilon\delta})$
для ширшого класу функцій, а саме $f \in W^{1,p}(0,T;H).$ Також
встановлено швидкість збіжності розв'язком, яка залежить від $ p,$ при
$\varepsilon \to 0$ и $\delta\to 0.$