ПРО ОБОРОТНIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ АВТОНОМНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ
Анотація
Згiдно з теоремою Банаха про обернений оператор для неперервної оборотностi лiнiй-
ного неперервного оператора, що дiє з одного банахового простору в iнший, необхiдно i до-
статньо, щоб цей оператор був сюр’єктивним та iн’єктивним. Цих вимог навiть у випадку
нелiнiйних операторiв достатньо для оборотностi вiдповiдних операторiв. Однак, оберненi
оператори можуть не бути неперервними. Це стосується диференцiйовних вiдображень,
для яких оберненi вiдображення можуть не бути диференцiйовними. Тому для оборот-
ностi нелiнiйних операторiв потрiбне виконання додаткових вимог. Для диферецiйовного
вiдображення такою вимогою є виконання умови невиродженостi похiдної Фреше вiдобра-
ження в кожнiй точцi простору, в якому дiє це вiдображення.
У статтi розглянуто нелiнiйнi автономнi диференцiальнi оператори класу C1, що дiють
iз простору обмежених i неперервно диференцiйовних на осi функцiй у простiр обмежених
i неперервних на осi функцiй зi значеннями в нескiнченновимiрному банаховому просторi.
Для таких операторiв наведено необхiднi та достатнi умови, при виконаннi яких цi опера-
тори є дифеоморфiзмами класу C1. Також наведено умови iн’єктивностi та сюр’єктивностi
дослiджуваних операторiв.
Завантаження
Посилання
[2] Golubitsky M., Guillemin V. Stable mappings and their singularities. Springer-Verlag, New York, Hei-
delberg, Berlin, 1973.
[3] Слюсарчук В. Ю. Необхiднi i достатнi умови оборотностi нелiнiйних диференцiйовних вiдобра-
жень. Укр. мат. журн. 2016, 68 (4), 638–652. doi:10.1007/s11253-016-1247-9
[4] Слюсарчук В. Ю. Оборотнiсть теореми про обернену функцiю для диференцiйовних функцiй,
Буковинський мат. журн. 2014, 2 (4), 112–113.
[5] Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. Вища школа,
Київ, 1974.
[6] Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания.
Наука, Москва, 1970.
[7] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве. Наука, Москва, 1970.
[8] Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследования дихотомии линейных систем
дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова, Наукова думка, Киев, 1990.
[9] Слюсарчук В. E. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем. Укр. мат. журн.
1983, 35 (1), 98–103. doi:10.1007/BF01093176
[10] Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї нелiнiйних рiвнянь, Науковий
вiсник Чернiвецького унiверситету, Математика. 2012, 2 (2–3), 157–163 (2012).
[11] Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. I Teil. Funktionen einer Variablen. Math. Ann.,
1927, 96 119–147; Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. II Teil. Funktionen mehrerer
Variablen. Math. Ann., 1927, 96, 383–409.
[12] Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на
оси функций. Мат. заметки 1972, 11, (3), 269–274. doi:10.1007/BF01098519
[13] Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операто-
ров Мат. сб. 1981, 116(158) 4(12), 483–501. doi:10.1070/SM1983v044n04ABEH000976
[14] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 2. Наука, Москва,
1966.
[15] Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. Высшая школа, Мо-
сква, 1982.
[16] Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов.
Мат. сб. 1986, 130(172) 1(5), 86–104. doi:10.1070/SM1987v058n01ABEH003093
[17] Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных
функционально-дифференциальных операторов. Мат. заметки 1987, 42 (2), 262–267.
doi:10.1007/BF01240454
[18] Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных
функционально-дифференциальных операторов. Укр. мат. журн. 1989, 41 (2), 201–205.
doi:10.1007/BF01060384
[19] Трубников Ю. В., Перов А. И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями.
Наука и техника, Минск, 1986.
[20] Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o
limitati. Annali Mat. pura ed. appl. 1955, 39, (2), 97–119.
[21] Reissig R., Sansone G., and Conti R. Qualitative Theorie Nichtlinear Differentialgleichungen. Edizioni
Cremonese, Roma, 1963.
[22] Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of bounded and
almost-periodic solutions of nonlinear differential equations. Acta Applicandae Mathematicae 2001,
65, (1-3), 333–341. doi:10.1023/A:1010687922737
[23] Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелi-
нiйних диференцiальних рiвнянь. Укр. мат. журн. 2009, 61, (11), 1541–1556. doi:10.1007/s11253-
010-0314-x
[24] Slyusarchuk V. E. The study of nonlinear almost periodic differential equations without recourse to the
H-classes of these equations. Sb. Math. 2014, 205 (6), 892–911. doi:10.4213/sm8188
Слюсарчук В. Е. Исследование нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений,
не использующее H-классы этих уравнений, Мат. сб., 2014, 205 (6), 139–160. doi:10.4213/sm8188
[25] Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия существования и единственности ог-
раниченных решений уравнения
dx(t)
dt
= f(x(t) + h1(t)) + h2(t), Мат. сб., 2017, 208, (2), 88–103.
doi:10.1070/SM8684
References
[1] Lang S. Introduction in Differentiable Manifolds. Wiley, New York, 1962.
[2] Golubitsky M., Guillemin V. Stable mappings and their singularities. Springer-Verlag, New York, Hei-
delberg, Berlin, 1973.
[3] Slyusarchuk V. Yu. Necessary and sufficient conditions for the invertibility of nonlinear differentiable
maps. Ukr. Math. J. 2016, 68 (4), 638–652. doi:10.1007/s11253-016-1247-9 (translation of Ukr. Mat.
Zh. 2016, 68 (4), 563–576. (in Ukrainian))
[4] Slyusarchuk V. Yu. Invertibility of the theorem on inverse function for differentiable functions. Bukovi-
nian. Math. Journal. 2014, 2 (4), 112–113. in Ukrainian)
[5] Kolmogorov A. N. and Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis.
Vyshcha Shkola, Kyiv, 1974. (in Ukrainian)
[6] Krasnosel’skii M. A., Burd V. Sh., and Kolesov Yu. S. Nonlinear Almost Periodic Oscillations. Nauka,
Moscow, 1970. (in Russian)
[7] Daletskii Yu. L. and Krein M. G. Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces.
Nauka, Moscow, 1970. (in Russian)
[8] Mitropol’skii Yu. A., Samoilenko A. M., and Kulik V. L. Investigation of the Dichotomy of Linear
Systems of Differential Equations with the Help of Lyapunov Functions. Naukova Dumka, Kiev, 1990.
(in Russian)
[9] Slyusarchuk V. E. Exponential dichotomy for solutions of discrete systems. Ukr. Math. J. 1983, 35 (1),
98–103 doi:10.1007/BF01093176 (translation of Ukr. Mat. Zh. 1983, 35 (1), 109–115. (in Russian))
[10] Slyusarchuk V. Yu. The method of local linear approximation in the theory of nonlinear equations.
Scientific Bulletin of the University of Chernivtsi. Maths 2012, 2 (2-3), 157–163. (in Ukrainian)
[11] Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. I Teil. Funktionen einer Variablen. Math. Ann.,
1927, 96 119–147; Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. II Teil. Funktionen mehrerer
Variablen. Math. Ann., 1927, 96, 383–409.
[12] Muhamadiev E. On the inversion of functional operators in a space of functions bounded on the axes.
Math. Notes 1972 11 (3), 169–172 doi:10.1007/BF01098519 (translation of Mat. Zametki 1972, 11 (3),
269–274 (in Russian))
[13] Slyusarchuk V. E. Invertibility of almost periodic c-continuous functional operators Mat. Sb. 1981,
116(158) 4(12), 483–501. doi:10.1070/SM1983v044n04ABEH000976 (in Russian))
[14] Fikhtengolts G. M. Course of Differential and Integral Calculus, T. 2. Nauka, Moscow, 1966. (in Russian)
[15] Lyusternik L. A. and Sobolev V. I. Short course of functional analysis. Higher School, Moscow, 1982.
(in Russian)
[16] Slyusarchuk V. E. Invertibility of nonautonomous functional-differential operators. Math. USSR-
Sb. 1987, 58 (1), 83–100. doi:10.1070/SM1987v058n01ABEH003093 (translation of Mat. Sb. 1986,
130(172) 1(5), 86–104.(in Russian))
[17] Slyusarchuk V.E. Necessary and sufficient conditions for invertibility of nonautonomous functional-
differential operators. Mathematical Notes 1987, 42, 648–651. doi:10.1007/BF01240454 (translation of
Mat. Zametki 1987, 42 (2), 262–267. (in Russian))
[18] Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for the invertibility of uniformly c-continuous
functional-differential operators. Ukr. Math. J. 1989, 41 (2), 180–183. doi:10.1007/BF01060384
(translation of Ukr. Mat. Zh. 1989, 41 (2), 201–205. (in Russian))
[19] Trubnikov Yu. V. and Perov A. I. Differential Equations with Monotone Nonlinearities. Nauka i Tekhni-
ka, Minsk, 1986. (in Russian)
[20] Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o
limitati. Annali Mat. pura ed. appl. 1955, 39, (2), 97–119.
[21] Reissig R., Sansone G., and Conti R. Qualitative Theorie Nichtlinear Differentialgleichungen. Edizioni
Cremonese, Roma, 1963.
[22] Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of bounded and
almost-periodic solutions of nonlinear differential equations. Acta Applicandae Mathematicae 2001,
65, (1-3), 333–341. doi:10.1023/A:1010687922737
[23] Slyusarchuk V. Yu. Method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonli-
near differential equations. Ukr. Math. J. 2009, 61 (11), 1809–1829. doi:10.1007/s11253-010-0314-x
(translation of Ukr. Mat. Zh. 2009, 61 (11), 1541–1556. (in Ukrainian))
[24] Slyusarchuk V. E. The study of nonlinear almost periodic differential equations without recourse to the
H-classes of these equations. Sb. Math. 2014, 205 (6), 892–911. doi:10.4213/sm8188
[25] Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of a bounded
solution of the equation
dx(t)
dt
= f(x(t) + h1(t)) + h2(t). Sb. Math. 2017, 208 (2), 255–268.
doi:10.1070/SM8684
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
