Потужнiсть множини неперервних функцiй, якi зберiгають цифру 1 Q3-зображення числа

Анотація

Робота присвячена дослідженню потужності множини $P_c$ неперервних на відрізку $[0;1]$ функцій, які зберігають цифру 1 у трисимвольному самоподібному $Q_3$ -- зображенні числа, що є узагальненням класичного трійкового зображення: $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^{-k}\alpha_k(x) \equiv\Delta^{3}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots}$, де $\alpha_n(x) \in A_3\equiv\{0,1,2\}$. Всі функції класу $P_c$ мають наступний вигляд:
\[
y=f(x)=f(\Delta^{Q_3}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_n(x) \ldots})=\Delta^{Q_3}_{\gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_n \ldots},\:\:\text{де}\:\: \alpha_n\in A_3, \gamma_n \in A_3,
\]
\[
x=\Delta^{Q_3}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_n(x) \ldots} \equiv \beta_{\alpha_1(x)}+ \sum^\infty_{k=2}\left[\beta_{\alpha_k(x)}\prod^{k-1}_{j=1}q_{\alpha_j(x)}\right]
\]
і при цьому $\gamma_n= \gamma_n(\alpha_1(x), \alpha_2(x), \ldots, \alpha_n(x))$, причому $\gamma_n =1$ тоді і тільки тоді, коли $\alpha_n(x) =1$.

Встановлено, що множина $P_c$ є континуальною. Отримано аналітичний вираз функцій класу $P_c$,
вивчено варіаційні та інтегральні їхні властивості.