Регулярне зростання коефiцiєнтiв Фур’є логарифмiчної похiдної цiлих функцiй покращеного регулярного зростання

Анотація

Нехай $f$ - ціла функція, $f(0)=1$, $(\lambda_n)$ - послідовність її нулів, $\Omega=\{|\lambda_n|:n\in\mathbb N\}$ і $F(z)=zf'(z)/f(z)$, $z=re^{i\varphi}$. Ціла функція $f$ називається функцією покращеного регулярного зростання, якщо для деяких $\rho\in (0,+\infty)$, $\rho_1\in (0,\rho)$ і $2\pi$-періодичної $\rho$-тригонометрично опуклої функції $h(\varphi)\not\equiv {-\infty}$ існує множина $U\subset\Bbb C$, яка міститься в об'єднанні кругів із скінченною сумою радіусів така, що $\log |f(z)|=|z|^\rho h(\varphi)+o(|z|^{\rho_1})$, $U\not\ni z=re^{i\varphi}\to\infty$. В роботі доведено, що для того щоб ціла функція $f$ порядку $\rho\in (0,+\infty)$ з нулями на скінченній системі променів $\{z: \arg z=\psi_{j}\}$, $j\in\{1,\ldots,m\}$, $0\le\psi_1<\psi_2<\ldots<\psi_m<2\pi$, була функцією покращеного регулярного зростання, необхідно і достатньо, щоб для деяких $\rho_2\in (0,\rho)$, $k_0\in\mathbb Z$ і кожного $k\in\{k_0,k_0+1,\ldots,k_0+m-1\}$, виконувалось
\begin{equation*}
c_k(r,F)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{-ik\varphi}F(re^{i\varphi})\, d\varphi=d_k r^\rho+o(r^{\rho_2}),\quad r\to +\infty,\quad r\notin\Omega,\quad d_k\in\mathbb C.
\end{equation*}
Це доповнює результати А. Гольдберга, М. Содіна, М. Строчика, М. Коренкова та Я. Васильківа про функції цілком регулярного зростання.