Задачі Коші з неєдиними розв’язками

Анотація

Доведено наступну теорему. Нехай G - область в просторі ${\mathrm{ℝ}}^2$ і $f:G\to \mathrm{ℝ}$- довільна неперервна функція. Для довільних точки $(t_0,x_0)\in G$ і числа $\epsilon >0$ існує така неперервна функція $g:G\to \mathrm{ℝ}$, що $\underset{(t,x)\in G}{sup}\left|g(t,x)-f(t,x)\right|\le \epsilon$ і задача Коші $\frac{dz\left(t\right)}{dt}=g(t,z(t\left)\right), z\left(t_0\right)=x_0$ має більше, ніж один розв’язок.

We prove the following theorem. Let G be a domain in the space ${\mathrm{ℝ}}^2$ and $f:G\to \mathrm{ℝ}$ be an arbitrary continuous map. For an arbitrary point $(t_0,x_0)\in G$ and a number $\epsilon >0$ there exists a continuous map $g:G\to \mathrm{ℝ}$ such that $\underset{(t,x)\in G}{sup}\left|g(t,x)-f(t,x)\right|\le \epsilon$ and the Cauchy problem $\frac{dz\left(t\right)}{dt}=g(t,z(t\left)\right), z\left(t_0\right)=x_0$ has more than one solution.