Нерівність типу Вімана для аналітичних в крузі функцій і категорії Бера

Анотація

Нехай $f_t$ аналітична функція в одиничному кр узі вигляду $f_t\left(z\right)=\underset{}{\sum a_n{e}^{i{\Theta }_n{t}_{z}n}}$, де $t\in \mathrm{ℝ}$ і ${\Theta }_n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, а h - додатна, неперервна, зростаюча до $+\infty$ на (0, 1) функція така, що ${\int }_{r_0}^{1}h\left(r\right)dr=+\infty , r_0\in (0,1)$. Якщо послідов ність $({\Theta }_n{)}_{n\ge 0}$ задовольняє у мову ${\Theta }_{n+1}/{\Theta }_n\ge q>1(n\ge 0)$, то для кожної аналітичної функції $f_t$ існує множина $E=E(\delta ,t)\subset (0,1)$ така, що Д ${\int }_{E}h\left(r\right)dr<+\infty$ і  $\underset{\underset{r\notin E}{r\to 1-0}}{\lim }\frac{\ln M_f\left(r\right)-\ln {\mu }_f\left(r\right)}{2\ln h\left(r\right)+\ln \ln \left\{h\right(r\left){\mu }_f\right(r\left)\right\}}\le \frac{1}{4}$

Let $f_t$ be analytic function in the unit disk of the form $f_t\left(z\right)=\underset{}{\sum a_n{e}^{i{\Theta }_n{t}_{z}n}}$, where $t\in \mathrm{ℝ}$, ${\Theta }_n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, and h be positive continuous increasing to $+\infty$ on (0, 1) function such that ${\int }_{r_0}^{1}h\left(r\right)dr=+\infty , r_0\in (0,1)$. If sequence $({\Theta }_n{)}_{n\ge 0}$ satisfies condition ${\Theta }_{n+1}/{\Theta }_n\ge q>1(n\ge 0)$, then for any analytic function $f_t$ there exists the set $E=E(\delta ,t)\subset (0,1)$ such that ${\int }_{E}h\left(r\right)dr<+\infty$ and $\underset{\underset{r\notin E}{r\to 1-0}}{\lim }\frac{\ln M_f\left(r\right)-\ln {\mu }_f\left(r\right)}{2\ln h\left(r\right)+\ln \ln \left\{h\right(r\left){\mu }_f\right(r\left)\right\}}\le \frac{1}{4}$