Нерівність типу Вімана для аналітичних в крузі функцій і категорії Бера
Анотація
Нехай <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub></math> аналітична функція в одиничному кр узі вигляду <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mrow><mo>∑</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><msup><mi>e</mi><mrow><mi>i</mi><msub><mi>Θ</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>t</mi><mi>z</mi></msub><mi>n</mi></mrow></msup></mrow><mrow/></munder></math>, де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Θ</mi><mi>n</mi></msub><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi></math>, а h - додатна, неперервна, зростаюча до <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mo>∞</mo></math> на (0, 1) функція така, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mn>1</mn></msubsup><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>r</mi><mo>=</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mo>∈</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>. Якщо послідов ність <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><msub><mi>Θ</mi><mi>n</mi></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mrow></msub></math> задовольняє у мову <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Θ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mi>Θ</mi><mi>n</mi></msub><mo>≥</mo><mi>q</mi><mo>></mo><mn>1</mn><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math>, то для кожної аналітичної функції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub></math> існує множина <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>E</mi><mo>=</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>δ</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>⊂</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> така, що Д <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mo>∫</mo><mi>E</mi></msub><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>r</mi><mo><</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></math> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><munder><mrow><mi>r</mi><mo>→</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>∉</mo><mi>E</mi></mrow></munder></munder><mfrac><mrow><mi>ln</mi><msub><mi>M</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>ln</mi><msub><mi>μ</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>ln</mi><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>ln</mi><mi>ln</mi><mo>{</mo><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><msub><mi>μ</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow></mfrac><mo>≤</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></math>
Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub></math> be analytic function in the unit disk of the form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mrow><mo>∑</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><msup><mi>e</mi><mrow><mi>i</mi><msub><mi>Θ</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>t</mi><mi>z</mi></msub><mi>n</mi></mrow></msup></mrow><mrow/></munder></math>, where <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Θ</mi><mi>n</mi></msub><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi></math>, and h be positive continuous increasing to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mo>∞</mo></math> on (0, 1) function such that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mn>1</mn></msubsup><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>r</mi><mo>=</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mo>∈</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>. If sequence <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><msub><mi>Θ</mi><mi>n</mi></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mrow></msub></math> satisfies condition <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Θ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mi>Θ</mi><mi>n</mi></msub><mo>≥</mo><mi>q</mi><mo>></mo><mn>1</mn><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math>, then for any analytic function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub></math> there exists the set <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>E</mi><mo>=</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>δ</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>⊂</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> such that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mo>∫</mo><mi>E</mi></msub><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>r</mi><mo><</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></math> and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><munder><mrow><mi>r</mi><mo>→</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>∉</mo><mi>E</mi></mrow></munder></munder><mfrac><mrow><mi>ln</mi><msub><mi>M</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>ln</mi><msub><mi>μ</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>ln</mi><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>ln</mi><mi>ln</mi><mo>{</mo><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><msub><mi>μ</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow></mfrac><mo>≤</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></math>
Завантаження
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).