Нерівність типу Вімана для аналітичних в крузі функцій і категорії Бера

  • А. О. Куриляк Львівський національний університет імені Івана Франка
  • О. Б. Скасків Львівський національний університет імені Івана Франка

Анотація

Нехай <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub></math> аналітична функція в одиничному кр узі вигляду <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mrow><mo>&#x2211;</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><msup><mi>e</mi><mrow><mi>i</mi><msub><mi>&#x398;</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>t</mi><mi>z</mi></msub><mi>n</mi></mrow></msup></mrow><mrow/></munder></math>, де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo>&#x2208;</mo><mi mathvariant="normal">&#x211D;</mi></math> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>&#x398;</mi><mi>n</mi></msub><mo>&#x2208;</mo><mi mathvariant="normal">&#x2115;</mi></math>, а h - додатна, неперервна, зростаюча до <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mo>&#x221E;</mo></math> на (0, 1) функція така, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>&#x222B;</mo><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mn>1</mn></msubsup><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>r</mi><mo>=</mo><mo>+</mo><mo>&#x221E;</mo><mo>,</mo><mo>&#xA0;</mo><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2208;</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>. Якщо послідов ність <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><msub><mi>&#x398;</mi><mi>n</mi></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2265;</mo><mn>0</mn></mrow></msub></math> задовольняє у мову <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>&#x398;</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mi>&#x398;</mi><mi>n</mi></msub><mo>&#x2265;</mo><mi>q</mi><mo>&gt;</mo><mn>1</mn><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2265;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math>, то для кожної аналітичної функції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub></math> існує множина <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>E</mi><mo>=</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>&#x3B4;</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>&#x2282;</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> така, що Д <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mo>&#x222B;</mo><mi>E</mi></msub><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>r</mi><mo>&lt;</mo><mo>+</mo><mo>&#x221E;</mo></math> і  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><munder><mrow><mi>r</mi><mo>&#x2192;</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>&#x2209;</mo><mi>E</mi></mrow></munder></munder><mfrac><mrow><mi>ln</mi><msub><mi>M</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>ln</mi><msub><mi>&#x3BC;</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>ln</mi><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>ln</mi><mi>ln</mi><mo>{</mo><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><msub><mi>&#x3BC;</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow></mfrac><mo>&#x2264;</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></math>

Let <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub></math> be analytic function in the unit disk of the form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mrow><mo>&#x2211;</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><msup><mi>e</mi><mrow><mi>i</mi><msub><mi>&#x398;</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>t</mi><mi>z</mi></msub><mi>n</mi></mrow></msup></mrow><mrow/></munder></math>, where <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo>&#x2208;</mo><mi mathvariant="normal">&#x211D;</mi></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>&#x398;</mi><mi>n</mi></msub><mo>&#x2208;</mo><mi mathvariant="normal">&#x2115;</mi></math>, and h be positive continuous increasing to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mo>&#x221E;</mo></math> on (0, 1) function such that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>&#x222B;</mo><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mn>1</mn></msubsup><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>r</mi><mo>=</mo><mo>+</mo><mo>&#x221E;</mo><mo>,</mo><mo>&#xA0;</mo><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2208;</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math>. If sequence <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><msub><mi>&#x398;</mi><mi>n</mi></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2265;</mo><mn>0</mn></mrow></msub></math> satisfies condition <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>&#x398;</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mi>&#x398;</mi><mi>n</mi></msub><mo>&#x2265;</mo><mi>q</mi><mo>&gt;</mo><mn>1</mn><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2265;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math>, then for any analytic function <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>f</mi><mi>t</mi></msub></math> there exists the set <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>E</mi><mo>=</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>&#x3B4;</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>&#x2282;</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> such that <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mo>&#x222B;</mo><mi>E</mi></msub><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>r</mi><mo>&lt;</mo><mo>+</mo><mo>&#x221E;</mo></math> and <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><munder><mrow><mi>r</mi><mo>&#x2192;</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>&#x2209;</mo><mi>E</mi></mrow></munder></munder><mfrac><mrow><mi>ln</mi><msub><mi>M</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mi>ln</mi><msub><mi>&#x3BC;</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>ln</mi><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>ln</mi><mi>ln</mi><mo>{</mo><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><msub><mi>&#x3BC;</mi><mi>f</mi></msub><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow></mfrac><mo>&#x2264;</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></math>

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.
Опубліковано
2018-10-07
Як цитувати
[1]
Куриляк, А. і Скасків, О. 2018. Нерівність типу Вімана для аналітичних в крузі функцій і категорії Бера. Буковинський математичний журнал. 1, 4 (Жов 2018).