Про оператор Шредінґера зі сингулярним потенціалом на геометричному графі

Анотація

В роботі розглянуто оператор Шредінґера на некомпактному зірковому геометричному графі зі сингулярним збуренням потенціала вигляду $\alpha {\epsilon }^{-2}r\left({\epsilon }^{-1}x\right)$ в околі вершини. Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій цього оператора при $\epsilon \to 0$. Отримано граничний оператор, який є узагальненням на випадок геометричного графа оператора Шредінґера з $\delta \text{'}$-потенціалом на прямій.

In this paper we consider the Schrödinger operator on the noncompact starshaped metric graph with short-range perturbation of the potential of the form $\alpha {\epsilon }^{-2}r\left({\epsilon }^{-1}x\right)$ іп the neighborhood of the vertex. We study the asymptotic behavior, as $\epsilon \to 0$, of spectrum and eigenfunctions of such a Hamiltonian. We obtain the limit operator which is a generahzation of the Schrödrnger operator with the $\delta \text{'}$-potential on a line.