МIНIМАЛЬНЕ ЗРОСТАННЯ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ IЗ ЗАДАНИМИ НУЛЯМИ

Анотація

Нехай $\zeta =\left(z_n\right)$ - прямуюча до $\mathrm{\infty }$ послiдовнiсть комплексних чисел, ${\mathrm{n}}_{\mathrm{\zeta }}\left(\mathrm{r}\right)$ - її лiчильна функцiя, $\mathrm{A}\left(\mathrm{\zeta }\right)$ - клас цiлих функцiй з нулями в точках ${\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}$ i лише в них, а l - неперервна, зростаюча до $+\mathrm{\infty }$ на $\mathrm{ℝ}$ функцiя. Якщо $n_{\zeta }\left(r\right)\ge l\left(r\right), r\ge r_0$, то iснують цiла функцiя $f\in A\left(\zeta \right)$ i множина E скiнченної логарифмiчної мiри такi, що $\mathrm{lnln}{M}_f\left(r\right)=o\left(\right(\ln n_{\zeta }\left(r\right){)}^{1+\epsilon }\ln l^{-1}\left(n_{\zeta }\right(r\left)\right))$, $E\not\ni r\to +\mathrm{\infty }$ , для кожного $\mathrm{\epsilon }>0$, де ${\mathrm{M}}_{\mathrm{f}}\left(\mathrm{r}\right)$ - максимум модуля f. Для $\mathrm{\epsilon }=0$ це твердження неправильне.

Let $\zeta =\left(z_n\right)$ be a sequence of complex numbers tending to $\mathrm{\infty }$, ${\mathrm{n}}_{\mathrm{\zeta }}\left(\mathrm{r}\right)$ be its counting function, $\mathrm{A}\left(\mathrm{\zeta }\right)$ be the class of entire functions with zeros at the points ${\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}$ and only at them, and l be a continuous, increasing to $+\mathrm{\infty }$ function on $\mathrm{ℝ}$. If $n_{\zeta }\left(r\right)\ge l\left(r\right), r\ge r_0$, then there exist an entire function $f\in A\left(\zeta \right)$ and a set E of finite logarithmic measure such that $\mathrm{lnln}{M}_f\left(r\right)=o\left(\right(\ln n_{\zeta }\left(r\right){)}^{1+\epsilon }\ln l^{-1}\left(n_{\zeta }\right(r\left)\right))$, $E\not\ni r\to +\mathrm{\infty }$, for every $\mathrm{\epsilon }>0$, where ${\mathrm{M}}_{\mathrm{f}}\left(\mathrm{r}\right)$ is the maximum modulus of f. For $\mathrm{\epsilon }=0$ this assertion is not valid.