АСИМПТОТИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ РОЗВ'ЯЗКУ МIШАНО€ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI В ГУСТОМУ ДВОРIВНЕВОМУ З'ЄДНАННI ТИПУ 3:2:1

Анотація

Розглядається мiшана крайова задача для рiвняння Пуассона у дворiвневому з'єднаннi ${\Omega }_{\epsilon }$, яке є об'єднанням деякої областi ${\Omega }_0$ та великої кiлькостi N тонких цилiндрiв. Тонкi цилiндри роздiлено на два рiвнi в залежностi вiд їх довжини i крайових умов, що задаються на їх бiчних сторонах. Цилiндри з кожного рiвня $\epsilon$-перiодично чергуються. На бiчних поверхнях цилiндрiв з першого рiвня задано неоднорiднi крайовi умови Неймана, а на бiчних поверхнях цилiндрiв з другого рiвня - однорiднi крайовi умови Дiрiхле. Використовуючи метод узгодження асимптотичних розвинень та спецiальнi розв'язки типу примежевого шару в зонi з'єднання, побудовано асимптотичне наближення для розв'язку даної задачi та доведено вiдповiднi асимптотичнi оцiнки у просторi Соболєва $H^1\left({\Omega }_{\epsilon }\right)$ при $\epsilon \to 0 (N\to +\infty )$.

We consider a mixed boundary-value problem for the Poisson equation in a two-level junction ${\Omega }_{\epsilon }$, which is the union of a domain ${\Omega }_0$ and a large number 3N of thin cylinders. The thin cylinders are divided into two levels depending on their length and the boundary conditions given on their lateral surfaces. In addition, the thin cylinders from each level are $\epsilon$-periodically alternated. The nonuniform Neumann conditions and the uniform Dirichlet conditions are given respectively on the lateral surfaces of the thin cylinders from the first level and the second level. Using the method of matched asymptotic expansions and special junction-layer solutions, we construct the asymptotic approximation for the solution and prove the corresponding estimates in the Sobolev space $H^1\left({\Omega }_{\epsilon }\right)$ as $\epsilon \to 0 (N\to +\infty )$.