ПРО ПОХIДНI РЯДIВ ДIРIХЛЕ

Анотація

Для абсолютно збiжного в пiвплощинi $\{\mathrm{z}:\mathrm{Re}\mathrm{z}<0\}$ ряду Дiрiхле $\mathrm{F}\left(\mathrm{z}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{z\lambda }}_{\mathrm{n}}}, {\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{n}}\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$, доведено, що умова $\left|\mathrm{x}\right|\mathrm{L}(\mathrm{x},\mathrm{F})\to +\mathrm{\infty } (\mathrm{x}\to -0)$ достатня для справедливостi для кожного $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{N}}$ при $\mathrm{x}\to -0$ зовнi деяко множини нульово лiнiйно щiльностi в точцi $\mathrm{x}=0$ i для всiх $\mathrm{z}, \mathrm{Re}\mathrm{z}=\mathrm{x}$ таких, що $\left|\mathrm{F}\right(\mathrm{z}\left)\right|=(1+\mathrm{o}(1\left)\right)\mathrm{M}(\mathrm{x},\mathrm{F}) (\mathrm{x}\to -0)$, спiввiдношення ${\mathrm{F}}^{\left(\mathrm{k}\right)}\left(\mathrm{z}\right)=(1+\mathrm{o}(1\left)\right){\mathrm{L}}^{\mathrm{k}}(\mathrm{x},\mathrm{F})\mathrm{F}\left(\mathrm{z}\right),$
де $\mathrm{M}(\mathrm{x},\mathrm{F})=sup\left\{\right|\mathrm{F}(\mathrm{x}+\mathrm{iy})|:\mathrm{y}\in \mathrm{ℝ}\}, \mathrm{L}(\mathrm{x},\mathrm{F})=(\ln \mathrm{M}(\mathrm{x},\mathrm{F}){)}_{+}^{\text{'}}$ - права похiдна.

For absolutely convergent in the half-plane $\{\mathrm{z}:\mathrm{Re}\mathrm{z}<0\}$ Dirichlet series $\mathrm{F}\left(\mathrm{z}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{z\lambda }}_{\mathrm{n}}}, {\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{n}}\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$, it is proved that the condition $\left|\mathrm{x}\right|\mathrm{L}(\mathrm{x},\mathrm{F})\to +\mathrm{\infty } (\mathrm{x}\to -0)$ is sufficient for the relation ${\mathrm{F}}^{\left(\mathrm{k}\right)}\left(\mathrm{z}\right)=(1+\mathrm{o}(1\left)\right){\mathrm{L}}^{\mathrm{k}}(\mathrm{x},\mathrm{F})\mathrm{F}\left(\mathrm{z}\right)$
to hold as $\mathrm{x}\to -0$ outside a certain set of zero linear density in the point $\mathrm{x}=0$ for every $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{N}}$ and for all z such that $\mathrm{Re}\mathrm{z}=\mathrm{x}$ and $\left|\mathrm{F}\right(\mathrm{z}\left)\right|=(1+\mathrm{o}(1\left)\right)\mathrm{M}(\mathrm{x},\mathrm{F}) (\mathrm{x}\to -0)$, where $\mathrm{M}(\mathrm{x},\mathrm{F})=sup\left\{\right|\mathrm{F}(\mathrm{x}+\mathrm{iy})|:\mathrm{y}\in \mathrm{ℝ}\} \mathrm{and} \mathrm{L}(\mathrm{x},\mathrm{F})=(\ln \mathrm{M}(\mathrm{x},\mathrm{F}){)}_{+}^{\text{'}}$ is the derivative from the right.