ЕКВIКОМПАКТНI ПРОСТОРИ

Анотація

Простiр X називатимемо еквiкомпактним, якщо замикання довiльної вiдносно псевдокомпактної в X множини c компактною множиною в X. Позначимо через $S{C}_p(X,Y)$ простiр всiх нарiзно неперервних вiдображень $f:X=\prod _{i=1}^d{X}_i\to Y$ з топологicю поточкової збiжностi. Нехай X - добуток злiченно повних за Чехом просторiв $X_1,\dots ,X_d$ i Y - метризовний простiр. Ми доводимо, що $S{C}_p(X,Y)$ еквiкомпактний. Ми також доводимо, що для кожного $T_1$-простору X iснуc деякий еквiкомпактний $T_1$-простiр $\mu X\supseteq X$ такий, що $\overline{X}=\mu X$ i кожне неперервне вiдображення з X у довiльний цiлком регулярний еквiкомпактний простiр Y неперервно продовжуcться на $\mu X$.

We call a spaces X equicompact if a closure of any relatively pseudocompact subset of X is compact. Denote by $S{C}_p(X,Y)$ a space of all separately continuous mappings $f:X=\prod _{i=1}^d{X}_i\to Y$ with the poinwise convergent topology. Let X be the product of countable Cech complete spaces $X_1,\dots ,X_d$ and Y be a metrizable space. We prove that $S{C}_p(X,Y)$ is equicompact. We also prove that for each $T_1$-space X there exists an equicompact $T_1$-space $\mu X\supseteq X$ such that $\overline{X}=\mu X$ and any continuous mapping from X to an completely regular equicompact space Y admits a continuous extention on $\mu X$.