НАВКОЛО ТЕОРЕМ ДЕБСА ПРО МНОГОЗНАЧНI ВIДОБРАЖЕННЯ

Анотація

Показано, що кожне напiвнеперервне знизу компактнозначне вiдображення топологiчного простору X в супер-$\sigma$-метризовний простiр Y буде напiвнеперервним зверху в кожнiй точцi деякої залишкової в X множини, а кожне напiвнеперервне знизу скiнченнозначне вiдображення локально зв'язного простору X у пряму Зорґенфрея c локально сталим у кожнiй точцi деякої вiдкритої залишкової в X множини. Крiм того, наведенi приклади нарiзно напiвнеперервних зверху (знизу) компактнозначних вiдображень квадрата ${\left[0,1\right]}^2$ у вiдрiзок $\left[0,1\right]$, якi в жоднiй точцi не є напiвнеперервними зверху (знизу).

It is shown that lower semi-continuous compact-valued mapping of atopological space X into a super-$\sigma$-metrizable space Y is upper semi-continuous in every point of a residual set in X and every lower semi-continuous finite-valued mapping of locally connected space X into Sorgenfrei line is locally constant in every point of an open residual set in X. Besides, there are examples of upper (lower) separetely continuous compact-valued mappings of the squere ${\left[0,1\right]}^2$ into the segment $\left[0,1\right]$ which are not upper (lower) semi-continuous in any point.