IНТЕРПОЛЯЦIЯ ГАРМОНIЗОВАНИХ ПРОЦЕСIВ ЗА СПОСТЕРЕЖЕННЯМИ З ШУМОМ

М. П. Моклячук; В. І. Остапенко

М. П. Моклячук Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
В. І. Остапенко Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка

Анотація

Дослiджується задача оптимального лiнiйного оцiнювання функцiонала $A_{T}^{i n t} ξ = \int_{0}^{T} a (t) ξ (t) d t$ , що залежить вiд невiдомих значень стохастичного процесу $ξ (t)$ за спостереженнями процесу $ξ (t) + η (t)$ у моменти часу $t \in ℝ \ [0, T]$ , де $ξ (t), t \in ℝ$ та $η (t), t \in ℝ$ взаємно незалежнi гармонiзованi α-стiйкi стохастичнi процеси. Встановленi формули для обчислення величини похибки та спектральної характеристики оптимальної оцiнки функцiонала $A_{T}^{i n t} ξ$ за умови спектральної визначеностi коли вiдомi спектральнi щiльностi процесiв. У тому випадку коли спектральнi щiльностi невiдомi, а вказанi лише класи допустимих щiльностей, застосовано мiнiмаксний пiдхiд до задачi оцiнювання. Вказанi спiввiдношення, що визначають найменш сприятливi спектральнi щiльностi та мiнiмiкснi спектральнi характеристики оцiнок для деяких класiв спектральних щiльностей.
The problem of optimal linear estimation of the functional $A_{T}^{i n t} ξ = \int_{0}^{T} a (t) ξ (t) d t$ that depends on the unknown values of a harmonizable α−stable stochastic processes $ξ (t)$ from observations of the process $ξ (t) + η (t)$ at points $t \in ℝ \ [0, T]$ , where $ξ (t), t \in ℝ$ and $η (t), t \in ℝ$ are mutually independent harmonizable α−stable processes, is considered. Formulas for calculating the error and the spectral characteristic of the optimal estimate of the functional $A_{T}^{i n t} ξ$ are proposed in the case of spectral certainty where spectral densities of the processes are exactly known. Formulas that determine the least favorable spectral densities and the minimax (robust) spectral characteristics are proposed in the case of spectral uncertainty for some classes of admissible spectral densities.

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.

Посилання

Cambanis, S. Complex stable variables and processes // Contributions to Statistics: Essays in Honour of Norman L. Johnson, P. K. Sen, ed., NorthHolland, New York – 1983. – P. 63-79.

Cambanis, S., Masry, E. Spectral density estimation for stationary stable processes // Stoch. Process. Applications. – 1984. – 18, N.1. – P. 1-31.

Cambanis, S., Soltani, R. Prediction of stable processes: Spectral and moving average representations// Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. – 1984. – 66, – P. 593-612.

Grenander, U. A prediction problem in game theory // Ark. Mat. – 1957. – 3, – P. 371-379.

Hosoya, Y. Harmonizable stable processes.// Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. – 1982. – 60, – P. 517-533.

Kassam S. A., Poor H. V. Robust techniques for signal processing: A survey// Proceedings of the IEEE. – 1985. – 73, N.3. – P. 433-481.

Колмогоров А. Н Сборник статей. Том. II: Теория вероятностей и математическая статистика. Ред. А. Н. Ширяев. Математика и ее приложения. — М.: Наука, 1986. — 535 c.

Luz M., Moklyachuk M. Robust extrapolation problem for stochastic processes with stationary increments// Mathematics and Statistics. – 2014. – 1, N.2. – P. 78-88.

Luz M., Moklyachuk M. Minimax interpolation problem for random processes with stationary increments// Statistics, Optimization & Information Computing. – 2015. –3, – P. 30-41.

Luz M., Moklyachuk M. Filtering problem for random processes with stationary increments// Contemporary Mathematics and Statistics. – 2015. – 3, N.1. – P. 8-27.

Moklyachuk M. P. Robust procedures in time series analysis// Theory of Stochastic Processes. – 2000. – 6, N.3-4. – P. 127-147.

Moklyachuk M. P. Game theory and convex optimization methods in robust estimation problems// Theory of Stochastic Processes. – 2001. – 7, N.1-2. – P. 253-264.

Моклячук М. П. Робастнi оцiнки функцiоналiв вiд стохастичних процесiв. — К.:ВПЦ "Київський унiверситет2008. — 320 с.

Moklyachuk M. P. Minimax-robust estimation problemsforstationarystochasticsequences//Statistics, Optimization & Information Computing. – 2015. – 3, N.4. – P. 348-419.

Moklyachuk M., Golichenko I. Periodically correlated processes estimates. — LAP Lambert Academic Publishing, 2016. — 308 p.

Moklyachuk M., Masyutka O. Minimaxrobust estimation technique for stationary stochastic processes.—LAPLambertAcademicPublishing,2012. — 296 p.

Moklyachuk M. P., Ostapenko V. I. Minimax interpolation problem for harmonizable stable sequences with noise observations// J. Appl. Math. Stat. – 2015. – 2, N.1. – P. 21-42.

Moklyachuk M. P., Ostapenko V. I. Minimax interpolation of harmonizable sequences// Theor. Probability and Math. Statist. – 2016. – N.92. – P. 135–146.

Pourahmadi, M. On minimality and interpolation of harmonizable stable processes. // SIAM J. Appl. Math. – 1984. – 44, N.5. – P. 1023-1030.

Rajput, S., Sundberg, C. On some extremal problems in Hp and the prediction of Lp - harmonizable stochastic processes // Probability Theory and Related Fields. – 1994. – 99, N.2. – P. 197-210.

Rockafellar, R. T. Convex Analysis. — Princeton: University Press, 1997. — 451 p.

Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1982. — 144 с.

Singer, I. Best Approximation in Normed LinearSpacesbyElementsofLinearSubspaces.—BerlinHeidelberg-New York: Springer-Verlag, 1980 — 415 p.

Vastola, K. S., Poor, H. V. An analysis of the eﬀects of spectral uncertainty on Wiener ﬁltering // Automatica. – 1983. – 28, – P. 289-293.

Weron, A. Harmonizable stable processes on groups: spectral, ergodic and interpolation properties. // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete – 1985. – 68, N.4. – P. 473-491.

Wiener, N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. With engineering applications. — The M. I. T. Press, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass., 1966. — 163 p.

Яглом А.М. Экстраполирование, интерполирование и фильтрация стационарных случайных процессов с рациональной спектральной плотностью // Труды Московского математического общества – 1955. – N.4 – P. 333-374.

Yaglom A. M. Correlation theory of stationary and related random functions. Vol. 1: Basic results. — Springer Series in Statistics, Springer-Verlag, New York etc., 1987. — 526 p.

Yaglom A. M. Correlation theory of stationary and related random functions. Vol. 2: Supplementary notes and references. — Springer Series in Statistics, Springer-Verlag, New York etc., 1987. — 258 p.