Фрактальні функції, пов'язані з Δ μ -зображенням чисел

Анотація

У роботі вивчаються функції з фрактальними властивостями, які визначені у термінах $\Delta^{\mu}$-зображення числа з нескінченним алфавітом $A=\mathbb{N}$: 

$$(0;1]\ni x=\sum\limits_{n}(B_{n}-B'_n)\equiv \Delta^{\mu}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots},$$

де $B_n=(1-\mu)^{a_1+a_3+\ldots+a_{2n-1}-1}{\mu}^{a_2+a_4+\ldots+a_{2n-2}},$ ${B_n}^{\prime}=(1-\mu)^{a_1+a_3+\ldots+a_{2n-1}-1}{\mu}^{a_2+a_4+\ldots+a_{2n}},$ $(0;1)\ni \mu$ - фіксований параметр, $(a_n)$ - послідовність натуральних чисел, залежна від числа $x$. Це функції: 

$$f\left(\Delta^{\mu}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}\right)=\Delta^{\mu}_{a_2a_1a_4a_3\ldots}, \varphi\left(\Delta^{\mu}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}\right)=\Delta^{\mu}_{[a_1a_2][a_3a_4]\ldots}, \gamma\left(\Delta^{\mu}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}\right)=\Delta^{\mu}_{[a_1a_2][a_2a_3]\ldots}.$$

Досліджуються структурні властивості самої функції і фрактальні (самоподібні, самоафінні тощо) властивості суттєвих для неї множин.