Неперервні функції, які зберігають цифру 1 Q 3 -зображення числа

Анотація

Робота присвячена вивченню класу неперервних на відрізку $[0;1]$ функцій, які зберігають цифру $1$ у трисимвольному $Q_3$-зображенні числа, що є узагальненням класичного трійкового зображення: $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^{-k}\alpha_k(x) \equiv\Delta^{3}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots}$, де $\alpha_n(x) \in A_3\equiv\{0,1,2\}$. А саме: функціям виду 

$$f(\Delta^{Q_3}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots})=\Delta^{Q_3}_{\gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_n \ldots},\:\:\text{де}\:\: \alpha_n, \gamma_n \in A_3,$$

$$\Delta^{Q_3}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots} \equiv \beta_{\alpha_1(x)}+ \sum^\infty_{k=2}\left[\beta_{\alpha_k(x)}\prod^{k-1}_{j=1}q_{\alpha_j(x)}\right]$$

і при цьому $\gamma_n= \gamma_n(\alpha_1(x), \alpha_2(x), \ldots, \alpha_n(x))$, але $\gamma_n =1$ тоді і тільки тоді, коли $\gamma_n =1$. Встановлено, що множина таких функцій є зліченною, а її представники мають не більше двох нескінченних рівнів, причому жодного континуального. Доведено, що сім'ї функцій, які мають один або два нескінченні рівні є зліченними. Для окремих функцій, графіки яких мають нетривіальну групу "симетрій", знайдено "аналітичне задання", описано структурні, структурно-подібні, варіаційні та інтегральні властивості.