АСИМПТОТИЧНА ЩІЛЬНІСТЬ НЕЩАСЛИВИХ ЧИСЕЛ

Анотація

Для натурального числа $n\in\mathbb N$ розглянемо суму квадратів усіх його цифр і позначимо її через $S^2(n)$. Покладемо $T_0(n)=n$, $T_1(n)=S^2(n)$, \dots, $T_{k+1}(n)=T_1(T_k(n))$ для $k\ge 1$. Число $n$ називається щасливим, якщо існує $k\ge 1$, таке, щоДля натурального числа $n\in\mathbb N$ розглянемо суму квадратів усіх його цифр і позначимо її через $S^2(n)$. Покладемо $T_0(n)=n$, $T_1(n)=S^2(n)$, \dots, $T_{k+1}(n)=T_1(T_k(n))$ для $k\ge 1$. Число $n$ називається щасливим, якщо існує $k\ge 1$, таке, що $T_k(n)=1$. Інакше, число $n$ називається нещасливим. Відомо, що для кожного нещасливого числа $n$ існує таке $k\ge 1$, що $T_k(n)\in C=\{4,16,37,58,89,145,42,20\}$. Якщо $c\in C$, то ми кажемо, що нещасливе число $n$ є $c$-нещасливим у випадку, коли $T_k(n)=c$ i $T_{k-1}(n)\not\in C$ для деякого $k\ge 1$. В даній роботі досліджується щільність $c$-нещасливих чисел. Одержано оцінки на верхню та нижню асимптотичні щільності $c$-нещасливих чисел  та доведено, що натуральної щільності нещасливих чисел не існує.