ПРО АПРОКСИМАЦІЮ СТОХАСТИЧНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ У НЕСКІНЧЕННОВИМІРНИХ ПРОСТОРАХ
Анотація
У статті представлено детальну схему апроксимації у середньому квадратичному для еволюційних стохастичних рівнянь із запізненням у нескінченновимірних просторах. Основна увага приділяється заміні початкової системи з післядією еволюційною системою стохастичних рівнянь без післядії. Запропонований підхід передбачає розбиття інтервалу запізнення на підінтервали та побудову відповідної системи рівнянь, яка апроксимує поведінку початкової системи. Важливо зазначити, що кількість рівнянь у такій апроксимуючій системі збільшується зі зростанням кількості підінтервалів. Основний результат дослідження показує, що за умови, коли розбиття стає дедалі дрібнішим (тобто кількість підінтервалів прямує до нескінченності), відстань у середньому квадратичному між розв’язками рівняння із запізненням і розв’язками системи без запізнення прямує до нуля.
Теоретична основа методу апроксимації використовує ключові поняття та результати зі стохастичного аналізу в нескінченновимірних просторах, зокрема, для вирішення проблем, пов’язаних із функціональною природою післядії та необмеженістю простору станів. Дослідження не лише узагальнює попередні результати для скінченновимірних випадків до нескінченновимірного середовища, але й розширює методи, застосовані для детермінованих рівнянь із запізненням, на стохастичні системи. Методологія базується на класичній ідеї розкладу розв’язку рівняння із запізненням за формулою Тейлора за довжиною інтервалу запізнення h > 0 h>0. Такий підхід дозволяє замінити початкову задачу для рівняння із запізненням системою задач Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь, побудованих спеціальним чином.
Результати роботи мають значні практичні наслідки, особливо для систем, де запізнення є природними, таких як стохастичні системи управління, динаміка популяцій або нескінченновимірні системи, описувані стохастичними рівняннями в частинних похідних. Замінюючи складні системи із запізненнями більш простими системами без запізнень, запропонований метод не лише спрощує чисельні обчислення, але й забезпечує глибше розуміння динаміки таких систем. Доведення умов, за яких апроксимація є коректною, сприяє розвитку теоретичної бази стохастичних рівнянь із запізненнями у нескінченновимірних просторах та пропонує потужний інструмент для їх аналізу та моделювання.
Завантаження
Посилання
[2] Pazy A., Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 1983, 279p.
[3] Stanzytskiy A., Misiats O., and Stanzhytskiy O. Invariant measure for neutral stochastic functional differential equations with non-Lipschitz coeficients. Evolution equations and Control theory 2022, 11 (6), 1929-1953 DOI: 10.3934/eect.2022005
[4] Manthey R., Zausinger T. Stochastic evolution equations in \( L^{2v}_{p} \) p . Stochastics and Stochastic Reports 1999, 66, 37-85
[5] Петрина Г.О., Станжицький А.О. Апроксимація систем стохастичних рівнянь із запізненнями стохастичною системою без запізнення. Буковинський математичний журнал 2024, 12(1), 120-136.
[6] Матвій О.В., Черевко І.М. Про апроксимацію систем із запізненням і їх стійкість. Нелінійні коливання 2004, 7 (2), 208-216.
[7] Матвій О.В., Черевко І.М. Про наближення систем диференціально-різнецевих рівнянь нейтрального типу системами звичайних диференціальних рівнянь. Нелінійні коливання 2007, 10 (3), 328-335.
[8] Іліка С.А., Матвій О.В., Піддубна Л.А., Черевко І.М. Схема апроксимації диференціально-функціональних рівнянь та їх застосування. Буковинський математичний журнал 2014, 2 (2-3), 107-111.
References
[1] De Prato G., Zabczyk J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Cambridge University Press, Cambridge, 1992, 454p.
[2] Pazy A., Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 1983, 279p.
[3] Stanzytskiy A., Misiats O., and Stanzhytskiy O. Invariant measure for neutral stochastic functional differential equations with non-Lipschitz coeficients. Evolution equations and Control theory 2022, 11 (6), 1929-1953 DOI: 10.3934/eect.2022005
[4] Manthey R., Zausinger T. Stochastic evolution equations in \( L^{2v}_{p} \) p . Stochastics and Stochastic Reports 1999, 66, 37-85
[5] Petryna G.O., Stanzhytskiy A.O. Approximation of systems of stochastic equations with delays by a stochastic system without delays. Bukovinian Mathematical Journal 2024, 12 (1), 120-136. (in Ukrainian)
[6] Matviy O.V., Cherevko I.M. On the approximation of systems with delay and their stability. Nonlinear oscillations 2004, 7 (2), 208-216. (in Ukrainian)
[7] Matviy O.V., Cherevko I.M. On the approximation of systems of differential-diference equations of neutral type by systems of ordinary differential equations. Nonlinear oscillations 2007, 10 (3), 328-335. (in Ukrainian)
[8] Ilika S.A., Matviy O.V., Piddubna L.A., Cherevko I.M. Scheme of approximation of differential functional equations and their applications. Bukovinian Mathematical Journal 2014, 2 (2-3), 107-111. (in Ukrainian)
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
