СИНГУЛЯРНI ФУНКЦIЇ, ПОВ’ЯЗАНI З МАРКОВСЬКИМ ЗОБРАЖЕННЯМ ЧИСЕЛ

Анотація

У статті вводиться в розгляд трисимвольне марковське зображення чисел, що \\ грунтується на розкладі числа в ряд
\[x=\sum\limits_{i=0}^{\alpha_1-1}{q_i}+\sum_{k=1}^{\infty}\left({q_{\alpha_1}\sum\limits_{i=0}^{\alpha_k-1}{q_{\alpha_ki}}\prod_{j=1}^{k-1}{q_{\alpha_j\alpha_{j+1}}}}\right)= \Delta_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_k...}, \alpha_k\in A=\{0,1,2\},\]
де $\|q_{ij}\|$ --- додатня стохастична матриця (матриця перехідних ймовірностей), $(q_0;q_1;q_2)$ --- додатний стохастичний вектор. Дане зображення є узагальненням класичного трійкового зображення чисел і співпадає з ним при $q_i=\frac{1}{3}=q_{ij}$ $\forall i,j\in A$. Описано тополого-метричні властивості циліндрів марковського зображення, зокрема виписано основне метричне \\ відношення довжин циліндрів попереднього і наступного рангів. Введено поняття \\ марковсько-нормального числа і доведено, що множина чисел, асимптотична частота кожної цифри $i$ яких відповідно рівна $\sum\limits_{i\in A}q_jq_{ji}$, $i,j\in A$, має повну міру Лебега.

Введена в розгляд функція (інверсор цифр), означена рівністю
\[I(x=\Delta_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...})=\Delta_{[2-\alpha_1][2-\alpha_2]...[2-\alpha_n]...}.\]
Доведено, що функція $I$ є неперервною строго спадною функцією на відрізку $[0;1]$. На основі поняття циліндричної похідної знайдено вираз похідної функції $I$ в точці. \\ Використовуючи нормальну властивість числа за його марковським зображенням і \\ отриманий вираз похідної знайдено умови, рівності похідної нулю майже в кожній точці одничного відрізка у розумінні міри Лебега, тобто умови сингулярності функції $I$.