НЕПЕРЕРВНI ФУНКЦIЇ, ОЗНАЧЕНI В ТЕРМIНАХ ДВОСИМВОЛЬНОГО G_2-ЗОБРАЖЕННЯ З ДВОМА РIЗНОЗНАКОВИМИ ОСНОВАМИ
Анотація
У роботі розглядаються неперервні функції, визначені на відрізку, аргумент і значення яких подається зображенням ($G_2$-зображення) у системі кодування з двома різнознаковими основами $g_0 \in [0,5;1)$ і $g_1=g_0-1$ та двосимвольним алфавітом $A=\{0;1\}$:
\[x=\alpha_1 g_{1-\alpha_1}+\sum\limits_{k=2}^{\infty}(\alpha_kg_{1-\alpha_k}\prod\limits_{j=1}^{k-1}g_{\alpha_j})\equiv
\Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...}.\] Серед них функції трьох класів.
Перший клас представляють функції, означені рівністю:
$$\varphi(x=\Delta^{G_2}_{\alpha_1...\alpha_n...})=\Delta^{G_2}_{r_1(\alpha_1)r_2(\alpha_2)...r_n(\alpha_n)...},
$$
де $(r_n)$ -- задана послідовність функцій $r_n: A\to A$. Доведено, що в цьому класі крім констант, тотожного перетворення відрізка, і функції:
\[f(x=\Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...})=\Delta^{G_2}_{[1-\alpha_1]\alpha_2...\alpha_n...}\]
інших неперервних функцій немає. Другий клас представляють функції:
\[ g(x=\Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...})=\Delta^{G_2}_{d(\alpha_1,\alpha_2)d(\alpha_2,\alpha_3)...
d(\alpha_n,\alpha_{n+1})d(\alpha_{n+1},\alpha_{n+2})...}, \mbox{ де } d:A\times A\to A.\] Доведено, що в цьому класі існує лише чотири неперервні функції: дві сталі, тотожне перетворення відрізка і оператор лівостороннього зсуву цифр $G_2$-зображення чисел.
Третій клас представляють неперервні строго зростаючі сингулярні функції (їх похідна рівна нулю майже скрізь у розумінні міри Лебега), означенні системою функціональних рівнянь:
\[\begin{cases}
f(g_0x)=q_0f(x),\\
f(g_0+(g_0-1)x)=q_0+(q_0-1)f(x),
\end{cases} q_0 \in [0,5;1), q_1=q_0-1.\]
Графіки функцій останнього класу є самоафінними, тобто структурно фрактальними. Знайдено вираз визначенного інтеграла по області визначення для функцій цього класу.
Завантаження
Посилання
[1] Chen Y. Fractal texture and structure of central place systems, Fractals, 2020, 28(01).
[2] Galambos J. Representations of real numbers by infinite series. Springer-Verlag, Berlin, 1976.
[3] Jarnicki M., Pflug P. Continuous nowhere differentiable function. The Monsters of Analysis. Springer Monographs in Mathem., 2015.
[4] Lysenko I.M., Maslova Yu.P., Pratsiovytyi M.V. Two-symbol systen of encoding with two bases having different signs and special functions related with it, Proceeding of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2019, 16(2), 50-62. (in Ukrainian)
[5] Massopust P.R. Fractal function and their applications. Chaos, Solutions and Fractals, 1997, 8(2), 171-190.
[6] Pratsiovytyi M. V., Baranovskyi O. M., Maslova Yu. P. Generalization of the Tribin function, J. Math. Sci., 2021., 253(2), 276–288.
[7] Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Ya.V., Dmytrenko S.O., Lysenko I.M.,Ratushniak S.P. About one class of function with fractal properties. Bukovynian Mathematical Journal. 2021, 6(1), 273–283. (in Ukrainian)
[8] Pratsiovytyi M.V., Drozdenko V.O., Lysenko I.M., Maslova Yu.P. Inversor of digits of digits of two-base G-representation of real numbers and its structural fractality. Bukovinian Math. Journal. 2022, 10(1), 100-109.
[9] Pratsiovytyi M.V., Lysenko I., Maslova Yu. Group of continuous transformations of real inerval preserving tails of G_2-representation of numbers. Algebra and Discrete Mathematics., 2020, 29(1), 99-108.
[10] Pratsiovytyi, M.V., Lysenko, I.M., Maslova, Yu. Trebenko O. G-representation of real numbers and some of its applications. J Math Sci, 2023, 277, 298–310.
[11] Pratsiovytyi M.V., Ratushniak S.P. Properties and distributions of values of fractal functions related to Q_2-representations of real numbers, Theory of Probability and Mathem. Stat., 2019, 99, 211-228.
[12] Pratsiovytyi M.V. Two-symbol encoding systems of real numbers and their application., Kyiv: Nauk. Dumka, 2022. (in Ukrainian)
[13] Pratsiovytyi M.V. Fractal approach to the study of singular distributions - Kyiv: Nats. Pedagog. Mykhailo Dragomanov Univ., 1998. (in Ukrainian)
[14] Pratsiovytyi M.V., Lysenko I.M., Maslova Yu.P. Geometry of numerical series: series as a model of a real number in a new two-symbol system of encoding of numbers. Proc. Inst. Math. Nat. Acad. Sc. Ukraine, 2018, 15(1), pp. 132–146 (in Ukrainian).
[15] Schweiger F. Ergodic theory of fibred systems and metric number theory. New York: Oxford University Press., 1995. 320 p.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
