НIДЕ НЕ МОНОТОННА ФУНКЦIЯ ТИПУ СЕРПIНСЬКОГО, ПОВ’ЯЗАНА IЗ ЗОБРАЖЕННЯМ ЧИСЕЛ РЯДАМИ КАНТОРА

M. V. Pratsiovytyi; N. V. Cherchuk

doi:10.31861/bmj2024.02.18

M. V. Pratsiovytyi Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Інститут математики НАН України, Київ, Україна
N. V. Cherchuk Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Київ, Україна

DOI: https://doi.org/10.31861/bmj2024.02.18

Ключові слова: $Q_s$-зображення числа, неперервна ніде не монотонна функція, канторівська система числення

Анотація

У роботі означено ніде не монотонну функцію, аргумент якої представлений у \\ канторівській системі числення з послідовністю натуральних основ $(s_k)$, де $s_k=2k+1$:
$$x=\frac{\alpha_1}{s_1}+\frac{\alpha_2}{s_1\cdot s_2}+...+\frac{\alpha_k}{s_1\cdot s_2\cdot...\cdot s_k}+...\equiv \Delta^{(s_k)}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k \ldots},$$
де $\alpha_k(x) \in A_k \equiv \{0,1,...,s_k-1\}$, $s_k=2k+1$. Значення функції визначається ланцюговою залежністю цифр $Q_s$-зображення числа від цифр зображення аргументу і мають \\ наступний вигляд:
$$g(x)=g(\Delta^{(s_k)}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x) \ldots})=\Delta^{Q_3}_{\beta_1 \beta_2 \ldots \beta_k \ldots},\:\:
\beta_k \in A_3\equiv\{0,1,2\},$$ де $\beta_1=\gamma(\alpha_1)$ і $\beta_k= \gamma(\alpha_k),\:\:\text{якщо } c_k=0 $ або $\beta_k= 2-\gamma(\alpha_k), \:\:\text{якщо } c_k\ne 0.$
Також $c_1=c_2=0$, $c_k= c_{k-1},\:\:\text{якщо }\:\: \alpha_{k-1}\ne \frac{s_{k-1}-1}{2}$ або $ c_k=1-c_{k-1}, \:\:\text{якщо } \:\:\alpha_{k-1}=\frac{s_{k-1}-1}{2} $ і
$\gamma(\alpha) \in A_3$.

Описано властивості її рівнів, диференціальні та фрактальні властивості.

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.

Посилання

[1] Bush K.A. Continuous functions without derivatives // Amer. Math. Monthly. — 1952. — 59, no. 4. — P. 222-225.
[2] Cantor G. Uber die einfachen Zahlesysteme // Z. Math.Phys.— 1869. — 10, Bd. 14. — P. 121-128.
[3] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined in terms of Q-representation // Int. J. of Math. Anal. – 2013. – 7(64). – P. 3155–3169. doi:10.12988/ijma.2013.311278
[4] Sierpinski W. Arytmetyczny przyklad funkcji ciaglej, nierozniczkowalnej // Wektor. – 1914. – № 8. – P. 337-343.
[5] Wunderlich W. Eine uberall stetige und nirgends difftrenziebare funktion // Elem. Math. – 1952. – no.7. – Pp. 73–79.
[6] Працьовитий М. В. Геометрiя класичного двiйкового зображення дiйсних чисел — Київ: Вид-во Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова, 2012. — 68 с.
[7] Працьовитий М. В. Двосимвольнi системи кодування дiйсних чисел та їх застосування — Київ: Наукова думка, 2022. — 316 с.
[8] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннii сингулярнi функцiї// Наук. часопис Нац. пед.ун-ту iм. М.П.Драгоманова. Сер. 1. Фiз. - мат. науки. — 2011. – №12 — С.24-35.
[9] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв – Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 1998. – 296 c.
[10] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Недиференцiйовна функцiя, що є одним з узагальнень вiдомої функцiї Серпiнського // Науковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1, Фiзико- математичнi науки. – Київ: НПУ iменi М.П. Драгоманова, 2010. – № 11. – С. 170–181.
[11] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Одна сiм’я неперервних функцiй з всюди щiльною множиною особливостей // Наук. часопис Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Серiя 1, Фiз.-мат. науки. — 2011. – № 12. – С. 152–167.
[12] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Розсiювання значень однiєї фрактальної неперервної немоно- тонної функцiї канторiвського типу // Нелiнiйнi коливання, 2018, Том 21, №1. – С. 116–130.
[13] Працьовитий М., Панасенко О. Диференцiальнi та фрактальнi властивостi класу самоафiнних функцiй ВIСНИК ЛЬВIВ. УН-ТУ, Серiя мех.-мат. 2009, вип. 70, С. 128–142.
[14] Працьовитий М. В., Черчук Н. В., Вовк Ю. Ю., Шевченко А. В. Нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з зображеннями чисел рядами Кантора Збiрник праць Iн–ту математики НАН України, 2019, Том 16, № 3. — С. 232–243.
[15] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В. Самоафiннi сингулярнi та нiде не монотоннi функцiї, повязанi з Q-зображенням дiйсних чисел// Укр. мат.журнал — 2013. – 65, №3 — С.405-417.
References
[1] Bush K.A. Continuous functions without derivatives // Amer. Math. Monthly. — 1952. — 59, no. 4. — P. 222-225.
[2] Cantor G. Uber die einfachen Zahlesysteme // Z. Math.Phys.— 1869. — 10, Bd. 14. — P. 121-128.
[3] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined in terms of Q-representation // Int. J. of Math. Anal. – 2013. – 7(64). – P. 3155–3169. doi:10.12988/ijma.2013.311278
[4] Sierpinski W. Arytmetyczny przyklad funkcji ciaglej, nierozniczkowalnej // Wektor. – 1914. – № 8. – P. 337-343.
[5] Wunderlich W. Eine uberall stetige und nirgends difftrenziebare funktion // Elem. Math. – 1952. – no.7. – Pp. 73–79.
[6] Pratsiovytyi M.V. Geometry of Classical Binary Representation of Real Numbers — Kyiv: Publishing House of the M. P. Dragomanov National Pedagogical University, 2012. — 68 pages. (in Ukrainian)
[7] Pratsiovytyi M.V. Arbitrary Systems of Real Number Coding and Their Applications — Kyiv: Naukova Dumka, 2022. — 316 pages. (in Ukrainian)
[8] Pratsiovytyi M.V. Nowhere Monotonic Singular Functions// Scientific Journal of the M. P. Dragomanov National Pedagogical University. Series 1. Physical and Mathematical Sciences. — 2011. – No.12 — P.24- 35. (in Ukrainian)
[9] Pratsiovytyi M.V. Fractal Approach in the Study of Singular Distributions – Kyiv: Publishing House of the M.P. Dragomanov National Pedagogical University. – 1998. – 296 pages. (in Ukrainian)
[10] Pratsiovytyi M.V., Vasylenko N.A. A Non-Differentiable Function as a Generalization of the Well- Known Sierpinski Function // Scientific Journal of the M.P. Dragomanov National Pedagogical University. Series 1, Physical and Mathematical Sciences. – Kyiv: M.P. Dragomanov National Pedagogical University, 2010. – No. 11. – P. 170–181. (in Ukrainian)
[11] Pratsiovytyi M.V., Vasylenko N.A. A Family of Continuous Functions with a Dense Set of Singularities // Scientific Journal of the National Pedagogical Dragomanov University. Series 1, Physical and Mathematical Sciences.. — 2011. – No. 12. – P. 152–167. (in Ukrainian)
[12] Pratsovytyi M. V., Svynchuk O. V. Scattering of Values of a Fractal Continuous Non-Monotonic Cantor- Type Function // Nonlinear Oscillations, 2018, Vol. 21, No. 1. – P. 116–130. (in Ukrainian)
[13] Pratsovytyi M., Panasenko O. Differential and Fractal Properties of a Class of Self-Affine Functions Bulletin of Lviv University, Series Mechanics and Mathematics, 2009, Issue 70., P. 128–142. (in Ukrainian)
[14] Pratsovytyi M. V., Cherchuk N. V., Vovk Yu. Yu., Shevchenko A. V. Nowhere Monotonic Functions Related to Representations of Numbers by Cantor Series Collection of Works of the Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, 2019, Vol. 16, No. 3. — P. 232–243. (in Ukrainian)
[15] Pratsovytyi M. V., Kalashnikov A. V. Self-Affine Singular and Nowhere Monotonic Functions Related to Q-Representations of Real Numbers// krainian Mathematical Journal, 2013, Vol. 65, No. 3. — P.405-417. (in Ukrainian)