ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ТИПУ КОЛМОГОРОВА З БЛОЧНОЮ СТРУКТУРОЮ
Анотація
Дослідження присвячене ультрапараболічним рівнянням, які виникають в задачах, що описують азійські опціони на фінансових ринках. Клас таких рівнянь за певних умов є узагальненням добре відомого виродженого параболічного рівняння дифузії з інерцією А.М.Колмогорова. Раніше для рівнянь з цього класу було побудовано так званий фундаментальний L-розв'язок, досліджено його властивості та коректну розв'язність задачі Коші.
У цій праці сформульовано спеціальні умови Гельдера відносно просторових змінних на коефіцієнти таких рівнянь, за яких отримано коректну розв'язність задачі Коші у спеціальних вагових просторах, а також інтегральні зображення класичних розв'язків однорідних рівнянь у вигляді інтегралів Пуассона від функцій або узагальнених мір, якими задається початкова умова. Описано класи коректності задачі Коші.
Отримані результати можна використати у подальших дослідженнях задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних вироджених параболічних рівнянь, а також при вивченні марковських процесів, густиною ймовірності переходу яких є ФРЗК для рівнянь, що розглядалися.
Завантаження
Посилання
[1] Kolmogoroff A. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung). Ann.Math. 1934, 35, No.1, 116–117. – https://doi.org/10.2307/1968123
[2] Mishura Yu.S., Ralchenko K.V., Sakhno M.L., Shevchenko G.M. Stochastic processes: theory, statistics, application: textbook. 2nd Edition. Kyiv University, Kyiv, 2023 (in Ukrainian).
[3] Stanton R. Path Dependent Payoffs and Contingent Claim Valuation: Single Premium Deferred Annuities. Graduate School of Business, Stanford University 1989.
[4] Barraquand J., Pudet T. Pricing of American path-dependent contingent claims. Math. Finance 1996, 6, 17–51.
[5] Pascucci A. Free boundary and optimal stopping problems for American Asian options. Finance and Stoch. 2008, 12, 21–41. doi: 10.1007/s00780-007-0051-7
[6] Di Francesco, Pascucci A. On a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type. AMRX Appl. Math. Res. Exprass 2005, 3, 77–116.
[7] Ivasyshen S.D., Layuk V.V. Cauchy problem for some degenerated parabolic equations of Kolmogorov type. Mat. Metody i Fiz.-Mekh. Polya 2007, 50 (3), 56–65 (in Ukrainian).
[8] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. Birkh¨auser. Basel 2004, Ser. Operator Theory: Adv. and Appl., Vol. 152. https://doi.org./10.1007/978-3-0348-7844-9.
[9] Dron V.S., Medynskyi I.P. On fundamental solution of the Cauchy problem for ultra-parabolic equations in the Asian options models. Math. Modeling and Computing 2024, 11 (2), 593–606. https://doi.org/10.23939/mmc2024.02.593
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
