ПРО ЗРОСТАННЯ МАКСИМУМУ МОДУЛЯ РЯДІВ ДІРІХЛЕ

Анотація

Для ряду Діріхле $F(s)=\sum_{n=0}^{\infty} f_n\exp\{s\lambda_n\}$ з невід'ємними зростаючими $+\infty$ показниками $\lambda_n$ і абсцисою абсолютної збіжності $\sigma_a\in (-\infty,+\infty]$ вивчено зв'язок між зростанням на $(-\infty, \sigma_a)$
максимума модуля $M(\sigma,F)= \sup\{|F(\sigma+it)|:\,t\in {\Bbb R}\}$ і поводженням коефіцієнтів $f_n$. Для цього через $L$ позначено клас неперервних зростаючих до $+\infty$ на $(x_0,\,+\infty)$ функцій $\alpha$. Належність $\alpha$ до
класу $L^0$ означає, що $\alpha \in L$ і $\alpha((1+o(1))x)=(1+o(1))\alpha(x)$ при $x\to+\infty$, а $\alpha \in L_{si}$, якщо $\alpha \in L$ і $\alpha(c x)=(1+o(1))\alpha(x)$ при $x\to+\infty$. 

Для цілих рядів Діріхле ($\sigma_a=+\infty$), наприклад, доведено, що якщо $\alpha \in L$, $\beta\in L^0$, то $\varlimsup\limits_{\sigma\to+\infty} \left(\exp\{\alpha(\ln\,M(\beta^{-1}(\beta(\sigma)+\ln\,q),F))\}-p\exp\{\alpha(\ln\,M(\sigma,F))\}\right)=+\infty$
для таких $p>1$ і $q>1$, що $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\alpha(\lambda_n)/\beta\left(\lambda^{-1}_n\ln\,(1/|f_n|)\right)>\ln\,p/\ln\,q$. Якщо ж $\alpha\in L_{si}$, $\beta\in L^0$, $\dfrac{d\beta^{-1}(c\alpha(x))}{d\ln\,x}=O(1)$ при $x\to+\infty$ і $\ln\,n=o(\lambda_n\beta^{-1}(c\alpha(\lambda_n)))$ при $n\to\infty$ для кожного $c\in (0,+\infty)$, $\alpha(\lambda_{n+1})\sim \alpha(\lambda_n)$ при $n\to\infty$ і $\dfrac{\ln\,|f_n|-\ln\,|f_{n+1}|}{\lambda_{n+1}-\lambda_n}\nearrow+\infty$ при $ n_0\le n\to\infty$, то $\varliminf\limits_{\sigma\to+\infty} \left(\exp\{\alpha(\ln\,M(\beta^{-1}(\beta(\sigma)+\ln\,q),F))\}-p\exp\{\alpha(\ln\,M(\sigma,F))\}\right)=-\infty$ для таких $p>1$ і $q>1$, що  $\varliminf\limits_{n\to\infty}\alpha(\lambda_n)/\beta\left(\lambda^{-1}_n\ln\,(1/|f_n|)\right)<\ln\,p/\ln\,q$.

Подібні результати отримано для рядів Діріхле, абсолютно збіжних у півплощині $\{s:\text{Re}s<0\}$. Наприклад, доведено, що якщо $\sigma_a=0$, $\beta\in L_{si}$, $\alpha(e^x)\in L_{si}$ і $\alpha(x)=o(\beta(x))$ при $x\to+\infty$, то
$$
\varlimsup\limits_{\sigma\uparrow 0}\left(\exp\left\{\alpha\left(\ln\,M\left(-\frac{1}{\beta^{-1}(\beta(1/|\sigma|)+\ln\,q)},F\right)\right)\right\}
-p\exp\{\alpha(\ln\,M(\sigma,F))\}\right)=+\infty
$$
для таких $p>1$ і $q>1$, що $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{\alpha(\lambda_n)}{\beta(\lambda_n/\ln^+\,|f_n|)}>\ln\,p/\ln\,q$.