УСЕРЕДНЕННЯ В БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМАХ ІЗ ЛІНІЙНИМ ПЕРЕТВОРЕННЯМ Й ІНТЕГРАЛЬНИМ ЗАПІЗНЕННЯМ

Анотація

Математичними моделями багатьох коливних систем є диференціальні рівняння з повільними $a(\tau)$ і швидкими $\varphi(\tau)$ змінними. Для дослідження і побудови наближеного розв'язку застосовується процедура усереднення за швидкими змінними. У статті досліджено існування і єдиність диференціального розв'язку m-частотної системи вигляду
\begin{equation*}
\frac{da}{d\tau} = X(\tau,a_{\Lambda},v_{\Delta}(a),\varphi_{\Theta}),
\quad
\frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{\omega(\tau)}{\varepsilon} + Y(\tau,a_{\Lambda},v_{\Delta}(a),\varphi_{\Theta}),
\end{equation*}
із початковими умовами в точці

$\tau = 0$. Тут $\tau \in [0,L]$,

$\varepsilon$--малий параметр. Компоненти векторів $\Lambda$, $\Delta$, $\Theta$ задають лінійно перетворені аргументи, які характеризують запізнення. Змінною $v_{\Delta}$ задається розподілене запізнення. Система в процесі еволюції може проходити через резонанси, умова яких

\begin{equation*}
\sum \limits_{\nu=1}^{q} \big( k_{\nu}, \theta_{\nu} \omega(\theta_{\nu} \tau) \big) = 0.
\end{equation*}

Вказано умови, при виконанні яких існує єдиний розв'язок й отримано оцінку похибки методу усереднення, порядок якої $\varepsilon^{\alpha}$, $\alpha = 1/(mq)$.