АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДІНКА РОЗВ'ЯЗКІВ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З НЕЛІНІЙНОСТЯМИ, ЯКІ Є КОМПОЗИЦІЯМИ ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНОЇ ТА ПРАВИЛЬНО ЗМІННИХ ФУНКЦІЙ

Анотація

Асимптотична поведiнка розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку з нелiнiйностями, якi є композицiями експоненцiальної та правильно змiнних функцiй. Однiєю з найактуальнiших задач сучасної якiсної теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь є вивчення нелiнiйних та, особливо, iстотно нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь . Серед робiт в цiй областi, що стосуються встановлення асимптотичних властивостей розв’язкiв, найбiльшу частину складають дослiдження рiвнянь зi степеневими нелiнiйностями та нелiнiйностями асимптотично близькими до степеневих, а також з експоненцiальними нелiнiйностями. Передумовою цих дослiджень було вивчення рiвняння Емдена–Фаулера, частковi випадки якого знаходять застосування в ядернiй фiзицi, газовiй динамiцi, механiцi рiдини, релятивiстськiй механiцi та iнших галузях природознавства. У роботi знайдено умови iснування та асимптотичнi зображення достатньо широкого класу розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Цей клас розв’язкiв був введений у роботах В. М. Євтухова для рiвнянь типу Емдена-Фаулера n-го порядку та конкретизованим для рiвняння другого порядку. Дослiджуванi диференцiальнi рiвняння мiстять нелiнiйностi, якi є композицiями експоненцiальної та правильно змiнних при прямуваннi аргументу до особливої точки функцiй. Важливою вiдмiннiстю даного класу рiвнянь є неможливiсть навiть асимптотично зобразити нелiнiйнiсть у виглядi добутку функцiй, кожна з яких залежала або тiльки вiд невiдомої функцiї, або тiльки вiд похiдної невiдомої функцiї. Клас дослiджуваних розв’язкiв мiстить правильно змiннi розв’язки таких рiвнянь. У роботi отримано асимптотичнi зображення як для розв’язкiв дослiджуваного класу, так i для їх похiдних першого порядку.