ПРО КЛАСИЧНИЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА
Анотація
Дослідження присвячене ультрапараболічним рівнянням з двома групами просторових змінних, які з'являються в задачах, що описують азійські опціони на ринку фінансових послуг. Клас цих рівнянь за виконання певних умов є узагальненням добре відомого виродженого параболічного рівняння дифузії з інерцією А.М.Колмогорова. Раніше для рівнянь з цього класу було побудовано так званий фундаментальний $L$-розв'язок. У цій роботі для таких рівнянь побудовано і досліджено класичний фундаментальний розв'язок задачі Коші. На коефіцієнти рівняння було накладено спеціальні умови Гельдера відносно просторових змінних.
Завантаження
Посилання
[1] Barraquand J., Pudet T. Pricing of American path-dependent contingent claims. Math. Finance 1996, 6, 17–51.
[2] Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 1973, 81, 637–659.
[3] Di Francesco, Pascucci A. On a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type. AMRX Appl. Math. Res. Exprass 2005, 3, 77–116.
[4] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. Birkhäuser. Basel, 2004, Ser. Operator Theory: Adv. and Appl., Vol. 152. doi: 10.1007/978-3-0348-7844-9.
[5] Foschi P., Pascucci A. Kolmogorov equations arising in finance: direct and inverse problem. Lecture Notes of Seminario Interdisciplinare di Matematica. Universitá degli Studi della Basilicata 2007, VI, 145–156.
[6] Frentz M., Nyström K., Pascucci A., Polidoro S. Optimal regularity in the obstacle problem for Kolmogorov operators related to American Asian options. Math. Ann. 2010, 347, 805–838. doi: 10.1007/s00208-009-0456-z
[7] Ivashyshen S.D., Layuk V.V. The fundamental solutions of the Cauchy problem for some degenerate parabolic equations of Kolmogorov type Ukr. Mat. J. 2011, 63 (11), 1469–1500 (in Ukrainian).
[8] Ivasyshen S.D., Medyns’kyi I.P. Classical fundamental solution of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov-type equations with two qroups of spatial variables of degeneration. I. J. Math. Sci. 2020, 246 (2), 121–151. doi: 10.1007/s10958-020-04726-z
[9] Ivasyshen S.D., Medyns’kyi I.P. Classical fundamental solution of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov-type equations with two qroups of spatial variables of degeneration. II. J. Math. Sci. 2020, 247 (1), 1–23. doi: 10.1007/s10958-020-04786-z
[10] Ivasyshen S.D., Medyns’kyi I.P. On classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov-type equations with two qroups of spatial variables. Mat. Metody i Fiz.-Mekh. Polya 2016, 59 (2), 28–42 (in Ukrainian).
[11] Kolmogorov A. Zufllige Bewegungen. (Zur Theorie der Brownschen Bewegung.). Ann. of Math., II. Ser. 1934, 35, 116–117.
[12] Mishura Yu.S., Ralchenko K.V., Sakhno M.L., Shevchenko G.M. Stochastic processes: theory, statistics, application: textbook. 2nd Edition. Kyiv University, Kyiv, 2023 (in Ukrainian).
[13] Pascucci A. Free boundary and optimal stopping problems for American Asian options. Finance and Stoch. 2008, 12, 21–41. doi: 10.1007/s00780-007-0051-7
[14] Polidoro S. On a class of ultraparabolic operators of Kolmogorov-Fokker-Planck type. Le Matematiche 1994, 49 (1), 53–105.
[15] Stanton R. Path Dependent Payoffs and Contingent Claim Valuation: Single Premium Deferred Annuities. Unpublished manuscript, Graduate School of Business, Stanford University, 1989.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
