ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ПАРНО ДОДАТНО ВИЗНАЧЕНИХ ОБМЕЖЕНИХ ФУНКЦІЇ НЕСКІНЧЕННОГО ЧИСЛА ЗМІННИХ

Анотація

Стаття складається з двох частин.

У першій частині доводиться інтегральне зображення для гіперболічно опуклих (г.о.) функцій $k(x)$ $\left(x\in \mathbb{R}^{\infty}= \mathbb{R}^1\times\mathbb{R}^1\times \dots\right)$. Для цього в $\mathbb{R}^{\infty}$ вводимо міри $\omega_1(x)$, $\omega_{\frac{1}{2}}(x)$. Додатна визначеність (д.в.) для г.о. функцій розуміється в інтегральному сенсі відносно міри $\omega_1(x)$. Далі ми доводимо, що міра $\rho(\lambda)$ в інтегральному зображенні для г.о. функцій зосереджена на $l_2^+=\bigg\{\lambda \in \mathbb{R}_+^{\infty}= \mathbb{R}_+^1\times\mathbb{R}_+^1\times \dots\Big|\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda_n^2<\infty\bigg\}$. Рівність для $k(x)$ $\left(x\in\mathbb{R}^{\infty} \right)$ розуміється майже всюди відносно міри $\omega_{\frac{1}{2}}(x)$.

У другій частині статті ми доводимо необхідну і достатню умови для інтегрального зображення г.о. функцій $k(x)$ $\big(x\in \mathbb{R}_0^{\infty}$ $\text{є ядерний простір}\big)$. Д.в. для г.о. функцій розуміється в точковому сенсі. Для цього потрібно сконструювати ланцюжок $\mathbb{R}_0^{\infty}\subset l_2 \subset \mathbb{R}^{\infty}$. Тоді, враховуючи, що проекційна та індуктивна топології співпадають, ми одержимо інтегральне зображення для г.о. функцій $k(x)$ $\left(x\in \mathbb{R}_0^{\infty}\right)$