КОМПОЗИЦІЇ АДАМАРА РЯДІВ ЗА СИСТЕМОЮ ФУНКЦІЙ

Анотація

Для регулярно збіжних в ${\Bbb C}$ рядів $A_j(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n,j}f(\lambda_nz)$, $1\le j\le p$, де $f$ - ціла трансцендентна функція, досліджується асимптотичне поводження адамарової композиції $A(z)=(A_1*...*A_p)_m(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\sum\limits_{k_1+\dots+k_p=m}c_{k_1...k_p}a_{n,1}^{k_1}\cdot...\cdot a_{n,p}^{k_p}\right)f(\lambda_nz)$ роду m. Функція $A_1$ називається домінантною, якщо $|c_{m0...0}||a_{n,1}|^m \not=0$ і $|a_{n,j}|=o(|a_{n,1}|)$ при $n\to\infty$ для $2\le j\le p$. Узагальненим порядком функції $A_j$ називається величина $\varrho_{\alpha,\beta}[A_j]=\break=\varlimsup\limits_{r\to+\infty}\dfrac{\alpha(\ln\,\mathfrak{M}(r,A_j))}{\beta(\ln\,r)}$, де $\mathfrak{M}(r,A_j)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{n,j}|M_f(r\lambda_n)$, $ M_f(r)=\max\{|f(z)|:\,|z|=r\}$, а функції $\alpha$ і $\beta$ є додатні, неперервні і зростаючі до $+\infty$.

За певних умов на $\alpha$, $\beta$, $M_f(r)$ і $(\lambda_n)$ доведено, що якщо серед функцій $A_j$ існує домінантна, то $\varrho_{\alpha,\beta}[A]=\max\{\varrho_{\alpha,\beta}[A_j]:\,1\le j\le p\}$. У термінах узагальнених порядків встановлено зв'язок між ростом  максимальних членів функцій $(A^{(k)}_1*...*A^{(k)}_p)_m$ і $((A_1*...*A_p)_m)^{(k)}$. Сформульовано нерозв'язані проблеми.