СИСТЕМИ СТОКСА ЗІ ЗМІННИМИ ПОКАЗНИКАМИ НЕЛІНІЙНОСТІ
Анотація
У статтi розглянуто мiшану задачу для нелiнiйної системи рiвнянь гiдродинамiки, яку прийнято називати системою Стокса. Ми збурюємо класичнi рiвняння Стокса монотонним нелiнiйним доданком зi змiнним показником нелiнiйностi – функцiєю $q = q(x, t)$. Цей показник нелiнiйностi $q$ залежить вiд просторової та часової змiнної i, зокрема, задовольняє умову Лiпшиця за змiнною $t$. У роботi дослiджуємо iснування та єдинiсть узагальненого розв’язку розглядуваної задачi. Доведення теореми iснування розв’язку ґрунтується на методi Фаедо-Гальоркiна. При побудовi гальоркiнських наближень використано теорему Каратеодорi-Ла Салля про глобальну розв’язнiсть задачi Кошi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь. Побудувавши гальоркiнськi наближення для нашої системи, доводимо їх обмеженiсть у вiдповiдних функцiйних просторах функцiй зi змiнним показником сумовностi. Затим показуємо збiжнiсть наближень до узагальненого розв’язку задачi. Теорему єдиностi розв’язку мiшаної задачi доводимо методом вiд супротивного.
Завантаження
Посилання
[1] R. Temam. Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis, Mir, Moscow, 1981 (translated from: North-Holland Publ., Amsterdam, New York, Oxford, 1979).
[2] M. Růžička. Electrorheological fluids: Modeling and mathematical theory, in: Lecture Notes in Mathematics, 1748, Springer-Verlag, Berlin, 2000.
[3] V.A. Solonnikov. Estimates of solutions to the linearized system of the Navier-Stokes equations, Trudy of the Steklov Math. Inst. 70 (1964) 213-317.
[4] V.A. Solonnikov. On estimates of solutions of the non-stationary Stokes problem in anisotropic Sobolev spaces and on estimates for the resolvent of the Stokes operator, Russian Math. Surveys. 58, №2 (2003) 331-365.
[5] V.A. Solonnikov. Weighted Schauder estimates for evolution Stokes problem, Annali Univ. Ferrara. 52 (2006) 137-172.
[6] I.S. Mogilevskii. On a boundary value problem for the time-dependent Stokes system with general boundary conditions, Mathematics of the USSR-Izvestiya. 28, №1 (1987) 37-66.
[7] G.P. Galdi, C.G. Simader, H. Sohr. On Stokes problem in Lipschitz domain, Annali di Matematica pura ed applicata. CLXVII (IV) (1994) 147-163.
[8] G.P. Galdi, C.G. Simader, H. Sohr. A class of solution to stationary Stokes and Navier-Stokes equations with boundary data in W^(-1/q ;q), Math. Ann. 331 (2005) 41-74.
[9] O.M. Buhrii. Visco-plastic, Newtonian, and dilatant fluids: Stokes equations with variable exponent of nonlinearity, Mat. Stud. 49 (2018) 165-180.
[10] O. Buhrii, M. Khoma On initial-boundary value problem for nonlinear integro-differential Stokes system, Visnyk (Herald) of Lviv Univ. Series Mech.-Math. 85 (2018) 107-119.
[11] H. Gajewski, K. Groger, K. Zacharias. Nonlinear operator equations and operator differential equations, Mir, Moscow, 1978 (translated from: Akademie-Verlag, Berlin, 1974).
[12] J.-L. Lions. Quelques m´ethodes de r´esolution des probl´emes aux limites non lin´eaires, Mir, Moscow, 1972 (translated from: Dunod Gauthier-Villars, Paris, 1969).
[13] E. Suhubi. Functional analysis, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, Boston, London, 2003.
[14] O. Buhrii, N. Buhrii. Integro-differential systems with variable exponents of nonlinearity, Open Math. 15 (2017) 859-883.
[15] Brezis H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg, London, 2011)
[16] Byström J., Sharp constants for some inequalities connected to the p-Laplace operator, J. of Ineq. in Pure and Appl. Math., 2005, 6 (2): Article 56
[17] J.A. Langa, J. Real, J. Simon. Existence and regularity of the pressure for the stochastic Navier-Stokes equations, Applied Mathematics and Optimization. 48, №3 (2003) 195-210.
[18] J. Simon. Nonhomogeneous viscous incompressible fluids: existence of velocity, density and preassure, SIAM J. Math. Anal. 21, 5 (1990) 1093-1117.
[19] J.-P. Aubin. Un theoreme de compacite, Comptes rendus hebdomadaires des seances de l’academie des sciences. 256 (24) (1963) 5042-5044.
[20] F. Bernis. Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded domains, Math. Ann. 279 (1988) 373-394.
[21] O. Buhrii, M. Khoma Integration by parts formulas for functions from generalized Sobolev spaces. International Scient. Conf. “Applied Mathematics and Information Technology” dedicated to the 60th anniversary of the Department of Applied Mathematics and Information Technology (September 22-24, 2022, Chernivtsi): Book of Materials. – Chernivtsi, 2022. – P. 107-110.
[22] J. Droniou Int´egration et espaces de Sobolev á valeurs vectorielles. Lecture notes, Universite de Provence, Marseille, 2001.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
