МНОЖИНА НЕПОВНИХ СУМ МОДИФІКОВАНОГО РЯДУ ГАТРІ-НІМАНА

Анотація

У роботі вивчаються тополого-метричні властивості множини неповних сум додатного ряду $\sum {a_k}$, де $a_{2n-1}=3/4^n+3/4^{in}$ та $a_{2n}=2/4^n+2/4^{in}$, $n \in N$, залежного від натурального параметра $i \geq 2$, який є певним збуренням відомого ряду Гатрі-Німана. Встановлено, що множина неповних сум такого ряду є канторвалом (що є специфічним об'єднанням досконалої ніде не щільної множини нульової міри лебега і нескінченного об'єднання інтвервалів), міра Лебега якого обчислюється за формулою: $\lambda(X^+_i)=1+\frac{1}{4^i-3}.$ Основна ідея доведення тведження грунтується на відомій теоремі Какея, замкненості множин неповних сум ряду і всюди щільності множини у певному відрізку. У роботі наводиться повне обгрунтування фактів для випадку $i=2$. Для обгрунтування основних фактів використовується співвідношення між членами та залишками ряду. Для $i=2$ маємо $r_0=\sum {a_k}=2$, $a_{2n}-r_{2n}= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4^n} + \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{16^n}$ $r_{2n-1}-a_{2n-1}= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4^n}-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{16^n}$. Актуальність вивчення об'єкта продиктована задачами геометрії числових рядів, фрактального аналізу та фрактальної геометрії одновимірних об'єктів і теорії нескінченних згорток Бернуллі, однієї з проблем якої є проблема сингулярності згортки двох сингулярних розподілів.