УМОВА ЦЕНТРА ДЛЯ КУБIЧНОЇ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОЇ СИСТЕМИ З IНВАРIАНТНОЮ КРИВОЮ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Анотація

Розглядається двовимірна кубічна диференціальна система вигляду

\centerline{$\dot
x=y+ax^{2}+cxy+fy^{2}+kx^{3}+mx^{2}y+pxy^{2}+ry^{3},$}

\centerline{$\dot
y=-(x+gx^{2}+dxy+by^{2}+sx^{3}+qx^{2}y+nxy^{2}+ly^{3}), $}

\noindent в якій всі змінні та коефіцієнти передбачаються дійсними.
Початок координат $O(0; 0)$ є особливою точкою з чисто уявними коренями характеристичного рівняння
($\lambda_{1,2}=\pm i$) типу центр або фокус. Для даної системи вивчається проблема розрізнення центра та фокуса за наявності однієї дійсної непривідної алгебраїчної інваріантної кривої другого порядку. У роботі отримано шість необхідних і достатніх умов існування інваріантної кривої другого порядку $ \Phi\equiv 1 + a_{10}x +
a_{01}y + a_{20}x^2 + a_{02}y^2=0$, де $(a_{20}, a_{02})\not=0,\;
(a_{20}, a_{10})\not=0,\; (a_{02}, a_{01})\not=0$.

Початок координат є центром для кубічної диференціальної системи тоді і тільки тоді, коли система має в околі особливої точки $O(0; 0)$ має аналітичний інтегруючий множник
$\mu(x,y)=1+\sum_{k=1}^{\infty}\mu_k(x,y)$, де $\mu_k$ однорідні
многочлени степеня $k$. Отримано шістнадцять серій умов існування аналітичного інтегруючого множника вигляду $\mu^{-1}=\Phi^h$, де $\Phi=0$ інваріантна крива другого порядку, а $h$ - дійсний параметр.
Для кубічної диференціальної системи з особливою точкою типу центр або фокус та з інваріантною кривою другого порядку отримано шістнадцять нових умов існування центру.