ЗАДАЧА ПРО ЦЕНТР ДЛЯ КУБІЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ СИСТЕМ З ЛІНІЄЮ НА НЕСКІНЧЕННОСТІ ТА АФІННОЮ ДІЙСНОЮ ІНВАРІАНТНОЮ ПРЯМОЮ ЗАГАЛЬНОЇ КРАТНОСТІ ЧОТИРИ
Анотація
У роботі розглядається система двох диференціальних рівнянь із кубічними многочленами у правих частинах, для якої змінні та коефіцієнти набувають дійсних значень. Для цієї системи точка (0,0) є критичним типом центра або фокуса. Актуальною є проблема розрізнення цих типів (проблема центра).У роботі розглядається система двох диференціальних рівнянь із кубічними многочленами у правих частинах, для якої змінні та коефіцієнти набувають дійсних значень. Для цієї системи точка (0,0) є критичним типом центра або фокуса. Актуальною є проблема розрізнення цих типів (проблема центра). Початок координат є центром тоді і тільки тоді, коли всі ляпуновські величини $L_1, L_2, ..., L_n, ... $ рівні нулю. У випадках, коли система має чотири (три) різні афінні прямі у працях О. Шубе і Д. Козьми показано, що точка (0,0) є центр тоді і тільки тоді, коли анулюються перші дві (сім) ляпунівські величини. У цих роботах під час розгляду проблеми центру не враховувалася кратність лінії на нескінченності $(m(l_\infty))$ та афінних інваріантних) прямих $((m(l_j))$. У даній статті ця задача розв'язана за наявності дійсної афінної інваріантної прямої $l_1$, здійснено класифікацію систем, для яких $m(l_\infty)+ m(l_1) \geq 4$, і доведено, що початок координат є центром лише за рівності нулю перших чотирьох ляпуновських величин. При доведенні використовуються методи інтегровності Дарбу, оборотності Желондека та узагальненої симетрії Черкаса. Наведено приклади, що вказують на суттєвість вимоги$L_1 = L_2 = L_3 = L_4 = 0$.
Завантаження
Посилання
[1] Amelkin V.V., Lukashevich N.A., Sadovskii A.P. Non-linear oscillations in the systems of second order.
Belorusian University Pres. Minsk. 1982 (in Russian).
[2] Bujac C., Schlomiuk D. and Vulpe N. Configurations of invariant straight lines of the type (2, 2, 1, 1) for
a family of cubic systems. In: Proc. of the Fifth Conf. of Math. Soc. of the Rep. of Moldova., Chisina˘u,
2019, 24–27.
[3] Bujac C., Vulpe N. Cubic systems with invariant straight lines of total multiplicity eight and with three
distinct infinite singularities. Qual. Theory Dyn. Syst. 2015, 14 (1), 109–137.
[4] Bujac C., Vulpe N. Cubic systems with invariant lines of total multiplicity eight and with four distinct
infinite singularities. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2015, 423 (2), 1025–1080.
[5] Christopher C., Llibre J., Pereira J.V. Multiplicity of invariant algebraic curves in polynomial vector
fields. Pacific J. of Math. 2007, 229 (1), 63–117.
[6] Cozma D. Integrability of cubic systems with invariant straight lines and invariant conics. Stiinta,
Chisina˘u, 2013.
[7] Cozma D., Suba˘ A. Partial integrals and the first focal value in the problem of centre. Nonlin. Diff.
Equ. and Appl. 1995, 2, 21–34.
[8] Cozma D., Suba˘ A. The solution of the problem of center for cubic differential systems with four
invariant straight lines. An. Stiint. Univ. "Al. I. Cuza" (Iasi). 1998, 44, suppl., 517–530.
[9] Dulac H. Determination et integration d’une certaine classe d’equations differentielles ayant pour point
singulier un centre. Bull. Sciences Math. 1908, 32, 230–252.
[10] Kooij R. Cubic systems with four line invariants, including complex conjugated lines. Math. Proc.
Camb. Phil. Soc. 1995, 118 (1), 7–19.
[11] Llibre J. and Vulpe N. Planar cubic polynomial differential systems with the maximum number of
invariant straight lines. Rocky Mountain J. Math. 2006, 36 (4), 1301–1373.
[12] Lyapunov A.M. The general problem of the stability of motion. Gostekhizdat, Moscow, 1950 (in Rus-
sian).
[13] Lyubimova R.A. About one differential equation with invariant straight lines. Differential and integral
equations, Gorky Universitet. 1984, 8, 66–69; 1997, 1, 19-22 (in Russian).
[14] Putuntica˘ V., Suba˘ A. The cubic differential system with six real invariant straight lines along two
directions. Studia Universitatis. 2008, no 8(13), 5–16.
[15] Putuntica˘ V., Suba˘ A. The cubic differential system with six real invariant straight lines along three
directions. Bulletin of ASM. Mathematics. 2009, no 2(60), 111–130.
[16] Repesco V. Cubic systems with degenerate infinity and straight lines of total parallel multiplicity six.
ROMAI J. 2013, 9 (1), 133–146.
[17] Romanovski V.G., Shafer D.S. The center and cyclicity problems: a computational algebra approach.
Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 2009.
[18] Sadovskii, A. P. On conditions for a center and focus for nonlinear oscillation equations. Differ-
entsial’nye Uravneniya. 1979, 15 (9), 1716–1719 (in Russian).
[19] Schlomiuk D. Elementary first integrals and algebraic invariant curves of differential equations. Expo-
sitiones Mathematicae. 1993, 11, 433-454.
[20] Sibirski K. The number of limit cycles in the neighborhood of a singular point. Diff. Uravneniya. 1965,
1 (1), 51-66 (in Russian).
[21] Suba˘ A. Solution of the center problem for cubic systems with a bundle of three invariant straight lines.
Bulletin of ASM. Mathematics. 2003, no 1(41), 91–101.
[22] Suba˘ A. Center problem for cubic differential systems with the line at infinity of multiplicity four.
Carpathian. J. Math. 2022, 38, no 1, 217–222.
[23] Suba˘ A., Cozma D. Solution of the problem of the center for cubic system with two homogeneous and
one non-homogeneous invariant straight lines. Bulletin of ASM. Mathematics. 1999, no 1(29), 37–44.
[24] Suba˘ A., Cozma D. Solution of the problem of the centre for cubic system with three invariant straight
lines two of which a parallel. Bulletin of ASM. Mathematics. 2001, no 2(36), 75–86.
[25] Suba˘ A. and Cozma D. Solution of the problem of the center for cubic differential system with three
invariant straight lines in generic position. Qual. Theory of Dyn. Systems. 2005, 6, 45–58.
[26] Suba˘ A., Repesco V. Configurations of invariant straight lines of cubic differential systems with degen-
erate infinity. Scientific Bulletin of Chernivtsi University, Series "Mathematics". 2012, 2 (2-3), 177–182.
[27] Suba˘ A., Repesco V. Cubic systems with degenerate infinity and invariant straight lines of total parallel
multiplicity five. Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold., Mat. 2016, no. 3(82), 38–56.
[28] Suba˘ A., Repesco V., Putuntica˘ V. Cubic systems with invariant affine straight lines of total parallel
multiplicity seven. Electron. J. Diff. Equ. 2013, 2013 (274), 1–22. http://ejde.math.txstate.edu/
[29] Suba˘ A., Vacaras O. Cubic differential systems with an invariant straight line of maximal multiplicity.
Annals of the University of Craiova. Mathematics and Computer Science Series. 2015, 42 (2), 427–449.
[30] Vacaras O. Cubic differential systems with two affine real non-parallel invariant straight lines of maximal
multiplicity. Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold., Mat. 2015, no. 3(79), 79–101.
[31] Z˙oladek H. and Llibre J. The Poincare center problem. Journal of Dynamical and Control Systems.
2008, 14 (4), 505—535.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
