ПРИНЦИП МАКСИМУМУ ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛОКАЛЬНИХ ФЛУКТУАЦIЙ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ РIССА СУТО ДРОБОВОГО ПОРЯДКУ

V. А. Litovchenko

doi:10.31861/bmj2021.02.06

V. А. Litovchenko Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

DOI: https://doi.org/10.31861/bmj2021.02.06

Ключові слова: рівняння фрактальної дифузії, псевдодиференціальне рівняння з оператором Рісса, потенціал Рісса, стійкі симетричні випадкові процеси Пойа, фундаментальний розв'язок, задача Коші, принцип максимуму, нестаціонарні гравітаційні поля, локальний вплив рухомих об'єктів

Анотація

У роботi розгяладається параболiчне псевдодиференцiальне рiвняння з оператором
Рiсса дробового диференцiювання порядку α ∈ (0;1), який дiє за просторовою змiнною.
Це рiвняння природньо узагальнює вiдоме рiвняння фрактальної дифузiї суто дробового
порядку. Воно виникає при математичному моделюваннi локальних завихрень нестацiо-
нарних гравiтацiйних полiв Рiсса, спричинених рухомими об’єктами, взаємодiя мiж ма-
сами яких характеризується вiдповiдним потенцiалом Рiсса. Фундаментальний розв’язок
задачi Кошi для цього рiвняння є щiльнiстю розподiлу ймовiрностей сили локальної взає-
модiї мiж цими об’єктами, вiн вiдноситься до класу розподiлiв Пойя симетричних стiйких
випадкових процесiв. За певних умов на коефiцiєнт локальних флуктуацiй поля, вста-
новлено аналог принципу максиму для цього рiвняння, за допомогою якого обгрунтовано
єдинiсть розв’язку задачi Кошi на часовому промiжку, де цей коефiцiєнт є неспадною
функцiєю.

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.

Посилання

References
[1] Applebaum D. Levy Processes and stochastic calculus Cambridge: Cambridge University Press, 2009.
https://doi.org/10.1017/CBO9780511809781
[2] Bertoin J. Levy Processes, volume 121 of Cambridge Tracts in Mathematics Cambridge: Cambridge
University Press, 1996.
[3] Blumenthal R.M., Getoor R.K. Some theorems on stable processes Trans. Amer. math. Soc. 1960, 95,
263–273.
[4] Bucur C., Valdinoci E. Non-local diﬀusion and applications Lecture Notes of the Unione Matematica
Italiana 20, Springer, 2016. DOI: 10.1007/978-3-319-28739-3
[5] Drin’ Ya.M. Investigation of a class of parabolic pseudo-diﬀerential operators on classes of Holder
continuous functions Dopovidi AN Ukr. SSR, Ser. A 1974, No. 1, 19-22 (Ukrainian).
[6] Drin’ Ya.M. and Eidelman S.D. Necessary and suﬃcient conditions for stabilization of solutions of the
Cauchy problem for parabolic pseudo-diﬀerential equations In: Approximate Methods of Mathematical
Analysis, Kiev Gos. Ped. Inst., Kiev 1974, 60–69 (Russian).
[7] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic Methods in the Theory of Diﬀerential and
Pseudo-Diﬀerential Equations of Parabolic Type Operator theory: Adv. and Appl., Birkhauser Basel
2004, 152.
[8] Fedoryuk M.V. Asymptotic properties of Green’s function of a parabolic pseudodiﬀerential equation
Diﬀ. Equations 1978, 14, 923–927.
[9] Schneider W.R. Stable distributions: Fox function representation and generalization Lecture Notes
Phus. 1986, 262, 497–511.
[10] Friedman A. PDE problems arising in mathematical biology Netw. Heterog. Media. 2012, 7 No. 4,
691–703. doi: 10.3934/nhm.2012.7.691
[11] Frostman O. Potentiel d’equilibre et capacite des ensembles avec quelques applications a la theorie des
fonctions Medd. Lunds Univ. Mat. Semin. 1935, 3, 1–118.
[12] Holtsmark J. Uber die Verbreiterung von Spektrallinier Annalen der Physik 1919, 58, 577–630.
[13] Jacob N. Pseudo diﬀerential operators and Markov Processes. In 3 vol. London: Imperial College Press,
2001, 2002, 2005.
[14] Levy P. Calcul des probabilities Paris: Gauthier–Villars et Cie, 1925.
[15] Litovchenko V.A. Cauchy problem with Riesz operator of fractional diﬀerentiation Ukr. Math. J. 2005,
57, 1937–1956. https://doi.org/10.1007/s11253-006-0040-6
[16] Litovchenko V.A. The Cauchy problem for one class of parabolic pseudodiﬀerential systems with
nonsmooth symbols Sib. Math. J. 2008, 49, 300–316. https://doi.org/10.1007/s11202-008-0030-z
[17] Litovchenko V.A. Holtsmark Fluctuations of Nonstationary Gravitational Fields Ukr. Math. J. 2021,
73 № 1, 69 -76. DOI 10.1007/s11253-021-01909-y
[18] Lizorkin P. Description of the spaces Lrp(Rn) in terms of diﬀerence singular integrals Math. Sb. 1970,
81 No. 1, 79–91 (Russian).
[19] Montefusco Eugenio, Pellacci Benedetta, and Verzini Gianmaria Fractional diﬀusion with Neumann
boundary conditions: the logistic equation Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 2013, 18 No. 8, 217552202.
doi: 10.3934/dcdsb.2013.18.2175
[20] Oliver Ibe Markov Processes for Stochastic Modeling. 2nd Edition Elsevier, 2013.
https://doi.org/10.1016/C2012-0-06106-6
[21] Polya G. Herleitung des Gausschen Fehlergesetzes aus einer Funktionalgleichung Math. Z. 1923, 18,
96–108.
[22] Reynolds Andy Liberating Levy walk research from the shackles of optimal foraging Physics of Life
Reviews 2015, 14, 59–83.
[23] Riesz M. Potentiels de divers ordres et leurs fonctions de Green C. R. Congre`s Intern. Math. Oslo
1936, 2, 62-63.
[24] Riesz M. Integrales de Riemann-Liouville et potentiels Acta Litt. Acad. Sci. Szeged. 1938, 9, 1–42.
[25] Samko S.G. Spaces of Riesz potentials Izv. AN SSSR. Ser. Math. 1976, 40 No. 5, 1143–1172 (Russian).
[26] Samko S.G., Kilbas A.A. and Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Appli-
cations Amsterdam: Gordon and Breach, 1993.
[27] Schwartz L. Theorie Des Distributions Hermann Paris, 1951.
[28] Sobolev S.L. On a theorem of functional analysis Math. Sb. 1938, 4 No. 3, 471–497 (Russian).
[29] Stein E. The characterisation of functions arising as potentials Bull. Amer. Math. Soc. 1961, 67 No.
1, 102–104.
[30] Thorin G. Convexiti theorems Comm. Semin. Math. L’Univ. Lund. Uppsala. 1948, 9, 1–57.
[31] Uchaikin V.V. Fractional Derivatives Method Ulyanovsk: Atrishok, 2008 (Russian).
[32] Viswanathan G.M., Afanasyev V., Buldyrev Sergey V., Havlin Shlomo, Luz M.G., Raposo E.P., Stanley
H.Eugene Levy ﬂights in random searches Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 2000,
282 No. 1-2, 1–12. https://doi.org/10.1016/S0378-4371(00)00071-6
[33] Zolotarev V.M. One-dimensional stable distributions Nauka, Moscow, 1983 (Russian).