АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЛОГАРИФМIЧНОЇ ПОХIДНОЇ ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ ПОКРАЩЕНОГО РЕГУЛЯРНОГО ЗРОСТАННЯ В $L^q[0,2\pi]$-МЕТРИЦI

Анотація

Нехай $f$ --- ціла функція, $f(0)=1$, $(\lambda_n)_{n\in\mathbb N}$ --- послідовність її нулів, $n(t)=\sum_{|\lambda_n|\le t}1$, $N(r)=\int_0^r t^{-1}n(t)\, dt$, $r>0$, $h(\varphi)$ --- індикатор функції $f$, і $F(z)=zf'(z)/f(z)$, $z=re^{i\varphi}$. Ціла функція $f$ називається функцією покращеного регулярного зростання, якщо для деяких $\rho\in (0,+\infty)$, $\rho_1\in (0,\rho)$ і $2\pi$-періодичної $\rho$-тригонометрично опуклої функції $h(\varphi)\not\equiv {-\infty}$ існує множина $U\subset\Bbb C$, яка міститься в об'єднанні кругів із скінченною сумою радіусів така, що \begin{equation*}
\log |{f(z)}|=|z|^\rho h(\varphi)+o(|z|^{\rho_1}),\quad U\not\ni z=re^{i\varphi}\to\infty.
\end{equation*}
В цій роботі доведено, що ціла функція $f$ порядку $\rho\in (0,+\infty)$ з нулями на скінченній системі променів $\{z: \arg z=\psi_{j}\}$, $j\in\{1,\ldots,m\}$, $0\le\psi_1<\psi_2<\ldots<\psi_m<2\pi$, є функцією покращеного регулярного зростання тоді і тільки тоді, коли для деякого $\rho_3\in (0,\rho)$
\begin{equation*}
N(r)=c_0r^\rho+o(r^{\rho_3}),\quad r\to +\infty,\quad c_0\in [0,+\infty),
\end{equation*}
і для деякого $\rho_2\in (0,\rho)$ і кожного $q\in [1,+\infty)$ виконується
\begin{equation*}
\left\{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left|\frac{\Im F(re^{i\varphi})}{r^\rho}+h'(\varphi)\right|^q\, d\varphi\right\}^{1/q}=o(r^{\rho_2-\rho}),\quad r\to +\infty.
\end{equation*}