НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА ДЛЯ ДЕЯКИХ СТЕПЕНЕВИХ РЯДIВ

Анотація

Через $\mathcal{A}^2$ позначимо клас аналітичних функцій виглядуЧерез $\mathcal{A}^2$ позначимо клас аналітичних функцій вигляду$f(z)=\sum_{n+m=0}^{+\infty}a_{nm}z_1^nz_2^m,$з областю збіжності $\mathbb{T}=\{z=(z_1,z_2)\in\mathbb C^2\colon|z_1|<1,\ |z_2|<+\infty\}=\mathbb{D}\times\mathbb{C}$ і$\frac{\partial}{\partial z_2}f(z_1,z_2)\not\equiv0$ в $\mathbb{T}.$ У цій статті ми доведемо деякі аналоги нерівності Вімана для аналітичних функцій $f\in\mathcal{A}^2$. Нехай функція $h\colon \mathbb R^2_+\to \mathbb R_+$ така, що$h$ неспадна по кожній змінній і $h(r)\geq 10$ для всіх $r\in T:=(0,1)\times (0,+\infty)$і $\iint_{\Delta_\varepsilon}\frac{h(r)dr_1dr_2}{(1-r_1)r_2}=+\infty$ для деякого $\varepsilon\in(0,1)$, де $\Delta_{\varepsilon}=\{(t_1, t_2)\in T\colon t_1>\varepsilon,\ t_2> \varepsilon\}$.Будемо говорити, що $E\subset T$ є множиною скінченної $h$-міри на\ ${T},$якщо $\nu_{h}(E){:=}\iint\limits_{E\cap\Delta_{\varepsilon}}\frac{h(r)dr_1dr_2}{(1-r_1)r_2}<+\infty$ для деякого $\varepsilon>0$. Для $r=(r_1,r_2)\in T$ і функції $f\in\mathcal{A}^2$ позначимо\begin{gather*}M_f(r)=\max \{|f(z)|\colon  |z_1|\leq r_1,|z_2|\leq r_2\},\\mu_f(r)=\max\{|a_{nm}|r_1^{n} r_2^{m}\colon(n,m)\in{\mathbb{Z}}_+^2\}.%\mathfrak{M}_f(r)=\sum_{n+m=0}^{+\infty}|a_{nm}|r_1^nr_2^m.\end{gather*}Доведено таку теорему:{\sl Нехай $f\in\mathcal{A}^2$. Для кожного $\delta>0$ існує множина $E=E(\delta,f)$ асимптотично скінченної $h$-міри на\ ${T}$ така, що для всіх $r\in (T\cap\Delta_{\varepsilon})\backslash E$ виконується нерівність \begin{equation*} M_f(r)\leq\frac{h^{3/2}(r)\mu_f(r)}{(1-r_1)^{1+\delta}}\ln^{1+\delta} \Bigl(\frac{h(r)\mu_f(r)}{1-r_1}\Bigl)\cdot\ln^{1/2+\delta}\frac{er_2}{\varepsilon}. \end{equation*}}