КОМПОЗИЦIЯ ЦIЛИХ НА ЗРIЗКАХ ФУНКЦIЙ ТА ОБМЕЖЕНИЙ L-IНДЕКС ЗА НАПРЯМКОМ

Анотація

Розглядається таке питання: "нехай $f: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ --- ціла функція обмеженого $l$-індексу, $\Phi: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}$ --- ціла на зрізках функція, $n\geq2,$ $l:\mathbb{C}\to \mathbb{R}_+$ --- неперервна функція.Розглядається таке питання: "нехай $f: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ --- ціла функція обмеженого $l$-індексу, $\Phi: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}$ --- ціла на зрізках функція, $n\geq2,$ $l:\mathbb{C}\to \mathbb{R}_+$ --- неперервна функція.Для якої додатної неперервної функції $L:\mathbb{C}^n\to \mathbb{R}_+$ та для якого напрямку $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$  складена функція $f(\Phi(z))$ має обмежений $L$-індекс за напрямком~$\mathbf{b}$?". У поданій статті раніше відомі результати про обмеженість $L$-індекс за напрямком для композиції цілих функцій $f(\Phi(z))$ узагальнені на випадок, коли  $\Phi: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}$ --- ціла на зрізках функція, себто ця функція ціла на кожній комплексній прямій $\{z^0+t\mathbf{b}: t\in\mathbb{C}\}$ для будь-якого $z^0\in\mathbb{C}^n$ та заданого напрямку $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$. Такі цілі на зрізках функцій не голоморфні за сукупністю змінних у загально випадку. Наприклад, такий підхід дозволяє розгляд функцій, голоморфних за змінною  $z_1$ і неперервних за змінноюю $z_2.$