Регулярне зростання коефiцiєнтiв Фур’є логарифмiчної похiдної цiлих функцiй покращеного регулярного зростання

  • R. V. Khats' Дрогобицький державний педагогічний університет імені Івана Франка, Інститут фізики, математики, економіки та інноваційних технологій
Ключові слова: ціла функція цілком регулярного зростання, ціла функція покращеного регулярного зростання, логарифмічна похідна, коефіцієнти Фур'є, скінченна система променів

Анотація

Нехай $f$ - ціла функція, $f(0)=1$, $(\lambda_n)$ - послідовність її нулів, $\Omega=\{|\lambda_n|:n\in\mathbb N\}$ і $F(z)=zf'(z)/f(z)$, $z=re^{i\varphi}$. Ціла функція $f$ називається функцією покращеного регулярного зростання, якщо для деяких $\rho\in (0,+\infty)$, $\rho_1\in (0,\rho)$ і $2\pi$-періодичної $\rho$-тригонометрично опуклої функції $h(\varphi)\not\equiv {-\infty}$ існує множина $U\subset\Bbb C$, яка міститься в об'єднанні кругів із скінченною сумою радіусів така, що $\log |f(z)|=|z|^\rho h(\varphi)+o(|z|^{\rho_1})$, $U\not\ni z=re^{i\varphi}\to\infty$. В роботі доведено, що для того щоб ціла функція $f$ порядку $\rho\in (0,+\infty)$ з нулями на скінченній системі променів $\{z: \arg z=\psi_{j}\}$, $j\in\{1,\ldots,m\}$, $0\le\psi_1<\psi_2<\ldots<\psi_m<2\pi$, була функцією покращеного регулярного зростання, необхідно і достатньо, щоб для деяких $\rho_2\in (0,\rho)$, $k_0\in\mathbb Z$ і кожного $k\in\{k_0,k_0+1,\ldots,k_0+m-1\}$, виконувалось
\begin{equation*}
c_k(r,F)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{-ik\varphi}F(re^{i\varphi})\, d\varphi=d_k r^\rho+o(r^{\rho_2}),\quad r\to +\infty,\quad r\notin\Omega,\quad d_k\in\mathbb C.
\end{equation*}
Це доповнює результати А. Гольдберга, М. Содіна, М. Строчика, М. Коренкова та Я. Васильківа про функції цілком регулярного зростання.

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.

Посилання

References

Gol’dberg A.A. B.Ya. Levin is a creator of the theory of entire functions of completely regular growth.

Mat. Fiz., Anal., Geom. 1994, 1 (2), 186–192. (in Russian)

Gol’dberg A.A., Korenkov N.E. Asymptotic behavior of logarithmic derivative of entire function of

completely regular growth. Sib. Math. J. 1980, 21 (3), 363–375. doi:10.1007/BF00968180 (translation

of Sib. Mat. Zh. 1980, 21 (3), 63–79. (in Russian))

Gol’dberg A.A., Levin B.Ya., Ostrovskii I.V. Entire and meromorphic functions. In: VINITI Series in

Contemporary Problems of Mathematics, Fundamental Trends, 85. VINITI, Moscow 1991, pp. 5–186.

(in Russian)

Gol’dberg A.A., Sodin M.L., Strochik N.N. Meromorphic functions of completely regular growth and

their logarithmic derivatives. Sib. Math. J. 1992, 33 (1), 34–40. doi:10.1007/BF00972934 (translation

of Sib. Mat. Zh. 1992, 33 (1), 44–52. (in Russian))

Gol’dberg A.A., Strochik N.N. Asymptotic behavior of meromorphic functions of completely

regular growth and of their logarithmic derivatives. Sib. Math. J. 1985, 26 (6), 802–809.

doi:10.1007/BF00969100 (translation of Sib. Mat. Zh. 1985, 26 (6), 29–38. (in Russian))

Hirnyk M.O. Subharmonic functions of improved regular growth. Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. 2009,

, 13–18. doi:10.1007/s11253-012-0624-2 (in Ukrainian)

Khats’ R.V. On entire functions of improved regular growth of integer order with zeros on a finite

system of rays. Mat. Stud. 2006, 26 (1), 17–24.

Khats’ R.V. Regularity of growth of Fourier coefficients of entire functions of improved regular growth.

Ukr. Math. J. 2012, 63 (12), 1953–1960. doi:10.1007/s11253-012-0624-2 (translation of Ukr. Mat. Zh.

, 63 (12), 1717–1723. (in Ukrainian))

Khats’ R.V. Asymptotic behavior of averaging of entire functions of improved regular growth.

Carpathian Math. Publ. 2013, 5 (1), 129–133. doi:10.15330/cmp.5.1.129-133

Khats’ R.V. Asymptotic behavior of entire functions of improved regular growth in the metric of

Lp[0, 2π]. Carpathian Math. Publ. 2013, 5 (2), 341–344. doi:10.15330/cmp.5.2.341-344

Kondratyuk A.A. Fourier series and meromorphic functions. Vyshcha shkola, Lviv, 1988. (in Russian)

Levin B.Ya. Distribution of zeros of entire functions. In: Transl. Math. Monogr., 5, Amer. Math. Soc.,

Providence, R.I., 1980.

Vasylkiv Ya.V. Asymptotic behavior of logarithmic derivatives and logarithms of meromorphic functions

of completely regular growth in the metric of Lp[0, 2π]. I. Mat. Stud. 1999, 12 (1), 37–58. (in Ukrainian)

Vynnyts’kyi B.V., Khats’ R.V. On asymptotic behavior of entire functions of noninteger order. Mat.

Stud. 2004, 21 (2), 140–150. (in Ukrainian)

Vynnyts’kyi B.V., Khats’ R.V. On growth regularity of entire function of noninteger order with zeros

on a finite system of rays. Mat. Stud. 2005, 24 (1), 31–38. (in Ukrainian)

Опубліковано
2019-09-07
Як цитувати
[1]
Khats’, R. 2019. Регулярне зростання коефiцiєнтiв Фур’є логарифмiчної похiдної цiлих функцiй покращеного регулярного зростання. Буковинський математичний журнал. 7, 1 (Вер 2019).