ПРО СЕКВЕНЦIАЛЬНО НЕПЕРЕРВНI ФУНКЦIЇ

Анотація

Для топологiчних просторiв X,Y i точки $x_0\in X$ вiдображення $f : X \to Y$ називається $C_{x0}$-неперервним, якщо для кожної неперервної кривої $\omega : \left[0,1\right]\to X$, у якої $\omega \left(0\right) = x_0$, композицiя $f\circ \omega$ неперервна в точцi 0. Показано, що для топологiчного векторного простору X i топологiчного простору Y вiдображення $f : X \to Y$ буде $C_{x0}$-неперервним тодi i тiльки тодi, коли воно є секвенцiально неперервним у точцi $x_0$. Наведено приклади топологiчних векторних просторiв, для яких з$C_{x0}$-неперервностi не випливає звичайна неперервнiсть в точцi $x_0$. Доведено аналог теореми про промiжне значення для секвенцiально неперервних функцiй $f : X \to Y$.

Given topological spaces X,Y and a point $x_0\in X$, a function $f : X \to Y$ is said to be $C_{x0}$-continuous if for every continuous curve $\omega : \left[0,1\right]\to X$ with $\omega \left(0\right) = x_0$, the composition $f\circ \omega$ is continuous at 0. We prove that, for every topological vector space X and every topological space Y a function $f : X \to Y$ is $C_{x0}$-continuous if and only if f is sequentially continuous at $x_0$. We provide examples of topological vector spaces for which the $C_{x0}$-continuity does not imply the continuity at $x_0$. We also prove a version of the intermediate value theorem for sequentially continuous functions $f : X \to Y$.