Буковинський математичний журнал

ПРО РОЗВ'ЯЗНІСТЬ І КОРЕКТНІСТЬ $(N+1)$-РАЗ ПРОІНТЕГРОВАНОЇ ЗАДАЧІ КОШІ

V. M. Gorbachuk — 2024-10-13

Як відомо, класична теорія $C_{0}$-півгруп лінійних операторів є важливим інструментом для вивчення багатьох питань теорії диференціальних рівнянь у банаховому просторі, зокрема задачі Коші $C_{0}[\tau]$ відшукання розв'язку $u(t), t \in [0, \tau]$ рівняння $u'(t) = Au(t)$, що задовольняє умову $u(0) = x \in X$, де $A$ - замкнений лінійний оператор у банаховому просторі $X$. Виявляється, що одним із самих плідних методів дослідження $(n+1)$-раз $(n \in \mathds{N})$ проінтегрованої задачі Коші $C_{n+1}[\tau]: v'(t) = Av(t) + \frac{t^{n}}{n!}x, v(0) = 0$, є вивчення введених Арендтом так званих $(n+1)$-раз проінтегрованих півгруп, теорію яких у подальшому розробляли Келлерман і Гебер, Танака і Міядера, де Лаубенфелс та ін.

У цій статті основна увага сконцентрована на випадку, коли $A$ є нормальним оператором у гільбертовому просторі. Виходячи з властивостей функції ${\Phi}_n(\lambda, t) = \frac{1}{{\lambda}^{n + 1}}\left(e^{\lambda t} -
\sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{(t\lambda)^k}{k!}\right), \lambda \in \mathbb{C}$, пов'язаної певним чином з відповідною $(n+1)$-раз проінтегрованою півгрупою, та операційного числення для нормальних операторів,з допомогою зазначеної функції описано всі розв'язки задачі $C_{n+1}[\tau]$ і знайдено умови, необхідні й достатні для її коректної постановки. Більше того, установлено критерій коректності цієї задачі в термінах локалізації спектра операторп $A$.

ПРО ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНІ ТРАНСЛЯЦІЙНО НЕПЕРЕРВНІ ТОПОЛОГІЇ НА НАПІВГРУПАХ C+(A,B) І C-(A,B) З ПРИЄДНАНИМ НУЛЕМ

O. V. Gutik — 2024-10-13

У праці \cite{Makanjuola-Umar=1997} Маканюола та Умар вивчали алгебричні властивості верхньої $\mathscr{C}_{+}(a,b)=\left\{q^ip^j\in\mathscr{C}(p,q)\colon i\leqslant j\right\}$ та нижньої $\mathscr{C}_{-}(a,b)=\left\{q^ip^j\in\mathscr{C}(p,q)\colon i\geqslant j\right\}$ піднапівгруп біцик\-ліч\-ного моноїда $\mathscr{C}(a,b)$. Приймемо $\mathscr{C}_{+}(p,q)^0$ і $\mathscr{C}_{-}(p,q)^0$ -- напівгрупи $\mathscr{C}_{+}(a,b)$ і $\mathscr{C}_{-}(a,b)$ з приєднаним нулем. Відомо \cite{Gutik=2015}, що на біциклічній напівгрупі з приєднаним нулем $\mathscr{C}(p,q)^0$ кожна гаусдорфова локально компактна трансляційно неперервна топологія є або копактною, або дискретною. У цій праці описано всі гаусдорфові локально компактні трансляційно неперервні топології на адитивній напівгрупі невід'ємних цілих чисел з приєднаним нулем $(\omega, +)^0$ і на напівгрупах $\mathscr{C}_{+}(p,q)^0$ і $\mathscr{C}_{-}(p,q)^0$. Зокрема доведено, що на напівгрупах $\mathscr{C}_{+}(p,q)^0$ і $\mathscr{C}_{-}(p,q)^0$ існує континуум різ\-них гаусдорфових локально компактних трансляційно неперервних топологій з точністю до топологічного ізоморфізму, причому таких топологій на напівгрупах $\mathscr{C}_{+}(p,q)^0$ і $\mathscr{C}_{-}(p,q)^0$ існує рівно три з точністю до гомеоморфізму.

ЗАСТОСУВАННЯ ОБРОБКИ ПРИРОДНОЇ МОВИ ТА НЕЧІТКОЇ ЛОГІКИ ДЛЯ ВИЯВЛЕННЯ ДЕЗІНФОРМАЦІЇ

H. V. Melnyk — 2024-10-13

В умовах сучасного iнформацiйного середовища проблема автоматичного виявлення дезiнформацiї є актуальним завданням, що потребує новiтнiх пiдходiв для аналiзу текстових даних. У данiй статтi представлено модель, яка поєднує методи обробки природної мови (NLP) — такi як TF-IDF та n-грамний аналiз — iз застосуванням нечiткої логiки для бiльш точної iдентифiкацiї дезiнформацiйних текстiв. Використання TF-IDF (термiн-частота, обернена частота документа) дозволяє кiлькiсно оцiнити важливiсть термiнiв у контекстi документу, а n-грамний аналiз забезпечує виявлення лексичних патернiв, що часто супроводжують дезiнформацiю.

Проте класичнi NLP пiдходи, включаючи TF-IDF та n-грамнi моделi, демонструють обмеження у виглядi високої частоти хибнопозитивних класифiкацiй. Для усунення цiєї проблеми, запропоновано iнтеграцiю правил нечiткої логiки, що моделюють невизначенiсть та градацiї iстинностi. Конкретно, нечiтка логiка дозволяє врахувати множиннi фактори, включаючи надiйнiсть джерела, лексичнi показники змiсту та емоцiйний тон тексту, використовуючи функцiї належностi для кожного фактору. Вихiдна оцiнка ймовiрностi дезiнформацiї обчислюється через композицiю функцiй належностi та нечiтких правил типу «Якщо... то...», що дозволяє отримати нечiтке рiшення, яке вiдображає ступiнь вiдповiдностi тексту критерiям дезiнформацiї.

Експериментальнi результати свiдчать про те, що запропонований пiдхiд iз застосуванням нечiткої логiки забезпечує зниження кiлькостi хибнопозитивних спрацьовувань та пiдвищення загальної точностi у порiвняннi з базовими моделями, такими як метод опорних векторiв (SVM) та гiбриднi системи на основi правил. Компаративний аналiз показав переваги моделi нечiткої логiки в умовах неповної або суперечливої iнформацiї, що характерно для завдань виявлення дезiнформацiї. Запропонована модель вiдкриває новi можливостi для розвитку iнструментiв аналiзу тексту, що можуть адаптивно реагувати на рiзнi рiвнi невизначеностi в лiнгвiстичному контентi.

ПРО ЗРОСТАННЯ МАКСИМУМУ МОДУЛЯ РЯДІВ ДІРІХЛЕ

M. M. Sheremeta — 2024-10-13

Для ряду Діріхле $F(s)=\sum_{n=0}^{\infty} f_n\exp\{s\lambda_n\}$ з невід'ємними зростаючими $+\infty$ показниками $\lambda_n$ і абсцисою абсолютної збіжності $\sigma_a\in (-\infty,+\infty]$ вивчено зв'язок між зростанням на $(-\infty, \sigma_a)$
максимума модуля $M(\sigma,F)= \sup\{|F(\sigma+it)|:\,t\in {\Bbb R}\}$ і поводженням коефіцієнтів $f_n$. Для цього через $L$ позначено клас неперервних зростаючих до $+\infty$ на $(x_0,\,+\infty)$ функцій $\alpha$. Належність $\alpha$ до
класу $L^0$ означає, що $\alpha \in L$ і $\alpha((1+o(1))x)=(1+o(1))\alpha(x)$ при $x\to+\infty$, а $\alpha \in L_{si}$, якщо $\alpha \in L$ і $\alpha(c x)=(1+o(1))\alpha(x)$ при $x\to+\infty$.

Для цілих рядів Діріхле ($\sigma_a=+\infty$), наприклад, доведено, що якщо $\alpha \in L$, $\beta\in L^0$, то $\varlimsup\limits_{\sigma\to+\infty} \left(\exp\{\alpha(\ln\,M(\beta^{-1}(\beta(\sigma)+\ln\,q),F))\}-p\exp\{\alpha(\ln\,M(\sigma,F))\}\right)=+\infty$
для таких $p>1$ і $q>1$, що $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\alpha(\lambda_n)/\beta\left(\lambda^{-1}_n\ln\,(1/|f_n|)\right)>\ln\,p/\ln\,q$. Якщо ж $\alpha\in L_{si}$, $\beta\in L^0$, $\dfrac{d\beta^{-1}(c\alpha(x))}{d\ln\,x}=O(1)$ при $x\to+\infty$ і $\ln\,n=o(\lambda_n\beta^{-1}(c\alpha(\lambda_n)))$ при $n\to\infty$ для кожного $c\in (0,+\infty)$, $\alpha(\lambda_{n+1})\sim \alpha(\lambda_n)$ при $n\to\infty$ і $\dfrac{\ln\,|f_n|-\ln\,|f_{n+1}|}{\lambda_{n+1}-\lambda_n}\nearrow+\infty$ при $ n_0\le n\to\infty$, то $\varliminf\limits_{\sigma\to+\infty} \left(\exp\{\alpha(\ln\,M(\beta^{-1}(\beta(\sigma)+\ln\,q),F))\}-p\exp\{\alpha(\ln\,M(\sigma,F))\}\right)=-\infty$ для таких $p>1$ і $q>1$, що $\varliminf\limits_{n\to\infty}\alpha(\lambda_n)/\beta\left(\lambda^{-1}_n\ln\,(1/|f_n|)\right)<\ln\,p/\ln\,q$.

Подібні результати отримано для рядів Діріхле, абсолютно збіжних у півплощині $\{s:\text{Re}s<0\}$. Наприклад, доведено, що якщо $\sigma_a=0$, $\beta\in L_{si}$, $\alpha(e^x)\in L_{si}$ і $\alpha(x)=o(\beta(x))$ при $x\to+\infty$, то
$$
\varlimsup\limits_{\sigma\uparrow 0}\left(\exp\left\{\alpha\left(\ln\,M\left(-\frac{1}{\beta^{-1}(\beta(1/|\sigma|)+\ln\,q)},F\right)\right)\right\}
-p\exp\{\alpha(\ln\,M(\sigma,F))\}\right)=+\infty
$$
для таких $p>1$ і $q>1$, що $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{\alpha(\lambda_n)}{\beta(\lambda_n/\ln^+\,|f_n|)}>\ln\,p/\ln\,q$.

ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ТИПУ КОЛМОГОРОВА З БЛОЧНОЮ СТРУКТУРОЮ

V. S. Dron' — 2024-10-13

Дослідження присвячене ультрапараболічним рівнянням, які виникають в задачах, що описують азійські опціони на фінансових ринках. Клас таких рівнянь за певних умов є узагальненням добре відомого виродженого параболічного рівняння дифузії з інерцією А.М.Колмогорова. Раніше для рівнянь з цього класу було побудовано так званий фундаментальний L-розв'язок, досліджено його властивості та коректну розв'язність задачі Коші.

У цій праці сформульовано спеціальні умови Гельдера відносно просторових змінних на коефіцієнти таких рівнянь, за яких отримано коректну розв'язність задачі Коші у спеціальних вагових просторах, а також інтегральні зображення класичних розв'язків однорідних рівнянь у вигляді інтегралів Пуассона від функцій або узагальнених мір, якими задається початкова умова. Описано класи коректності задачі Коші.

Отримані результати можна використати у подальших дослідженнях задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних вироджених параболічних рівнянь, а також при вивченні марковських процесів, густиною ймовірності переходу яких є ФРЗК для рівнянь, що розглядалися.

ХАРАКТЕРИЗАЦIЯ ОДНОТОЧКОВИХ РОЗРИВIВ НАРIЗНО НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ

M. R. Kozlovskyi — 2024-10-13

В даній статті показано, що для цілком регуляних просторів $X_1, ..., X_n$ із $x_{i0}$ -- неізольована $G_\delta$-точка у просторі $X_i$, якщо для деяких $1\leq i\neq j\leq n$ існує нарізно неперервна функція $g:X_i\times X_j\to\mathbb{R}$, то існує нарізно неперервна функція $f:\prod\limits_{i=1}^n X_i\to\mathbb{R}$ така, що $D(f) = \{(x_{10}, ..., x_{n0})\}$. Використовуючи цей факт показний основний результат, що для цілком регуляних просторів $X_1, ..., X_n$ існування нарізно неперервної функції $f:\prod\limits_{i=1}^nX_i\to\mathbb{R}$ із одноточковим розривом $(x_{10}, ..., x_{n0})$, де $x_{i0}$ -- це $G_\delta$ точка у $X_i$, рівносильне тому, що із $n$ $P$-фільтрів хоча б два є майже когерентними.

АНАЛІЗ МОДЕЛЕЙ СКЕЛЛАМА ІЗ ЖОРСТКОЮ СТРАТЕГІЄЮ ЗБОРУ ВРОЖАЮ

V. G. Matsenko — 2024-10-13

Розглянуто дискретні моделі Скеллама із жорсткою інтенсивністю збору врожаю. Досліджено існування стаціонарних і періодичних розв'язків та їх стійкість. Наведено комп'ютерні розрахунки розв'язків дискретних рівнянь.

РОЗВ’ЯЗКИ ДЕЯКИХ КЛАСIВ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО РОДУ

H. S. Pasichnyk — 2024-10-13

Основним об'єктом дослідження є інтегральні рівняння другого роду, які виникають при побудові фундаментального розв'язку задачі Коші для виродженого параболічного рівняння типу Колмогорова. Рівняння може містити також виродження на початковій гіперплощині. Коефіцієнти цього рівняння є обмеженими в групі старших і зростаючими функціями в групі молодших членів. Розглянені класи ядер інтегральних рівнянь дозволяють в оцінці резольвенти зберегти функцію, яка присутня в оцінках ядер визначає ріст коефіцієнтів параболічного рівняння.

БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ 2B-ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМ

I. D. Pukalskyy — 2024-10-13

Досліджується загальна багатоточкова крайова задача для нерівномірно $2b$-параболічних рівнянь з виродженням. Коефіцієнти параболічних рівнянь і крайових умов допускають степеневі виродження довільного порядку за часовою змінною та просторовими змінними на деякій множині точок. Для розв'язання поставленої багатоточкової крайової задачі вивчаються розв'язки задач з гладкими коефіцієнтами в гельдерових просторах з відповідною нормою. За допомогою інтерполяційних нерівностей та апріорних оцінок встановлюються оцінки розв'язку допоміжних задач та їх похідних у спеціальних гельдерових просторах. Використовуючи теореми Рісса й Арчела з компактної послідовності розв'язків допоміжних задач виділяється збіжна послідовність, граничне значення якої є розв'язком багатоточкової за часом крайової задачі для $2b$-параболічного рівняння з виродженням. Оцінки розв'язку поставленої задачі встановлені в гельдерових просторах зі степеневою вагою. Порядок степеневої ваги визначається порядком особливостей коефіцієнтів рівнянь і крайових умов. При певних обмеженнях на праві частини рівняння і крайових умов одержано інтегральне зображення поставленої задачі.

ПРО КРАЙОВУ ЗАДАЧУ З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ БАГАТЬМА ПЕРЕТВОРЕНИМИ АРГУМЕНТАМИ

M. P. Filipchuk — 2024-10-13

Чисельно-аналітичним методом досліджується питання існування та наближеної побудови розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь із скінченною кількістю перетворених аргументів у випадку інтегральних крайових умов. Запропоновано як традиційну схему методу з визначальним рівнянням, так і модифіковану схему без визначального рівняння. Отримано умови існування розв'язку розглядуваної крайової задачі та оцінку похибки побудованих послідовних наближень.

АПРОКСИМАЦІЯ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ СТОХАСТИЧНОЮ СИСТЕМОЮ БЕЗ ЗАПІЗНЕННЯ

G. O. Petryna — 2024-11-07

У даній роботі запропоновано схему апроксимації у середньому квадратичному \linebreak розв'язків стохастичної системи диференціальних рівнянь із запізненням розв'язками системи стохастичних диференціальних рівнянь без запізнення. Стохастичні диференціальні рівняння із запізненням відіграють важливу роль у моделюванні реальних процесів з пам'яттю, але їх дослідження ускладнюється нескінченновимірністю фазового простору. Для подолання цих труднощів ми розвиваємо підхід, заснований на апроксимації системи із запізненням системою звичайних диференціальних рівнянь збільшеної розмірності. Основний результат полягає у доведенні того, що за певних умов розв'язки апроксимуючої системи збігаються у середньому квадратичному до розв'язків вихідної системи із запізненням. Цей підхід дозволяє ефективно аналізувати та моделювати стохастичні системи із запізненням за допомогою скінченновимірних стохастичних диференціальних рівнянь без запізнення.

СВІТЛІЙ ПАМ’ЯТІ ВЧЕНОГО, ПЕДАГОГА, ВЧИТЕЛЯ – ПЕРЕСТЮКА МИКОЛИ ОЛЕКСІЙОВИЧА

О. Безущак — 2024-10-17

СВІТЛІЙ ПАМ’ЯТІ ВЧЕНОГО, ПЕДАГОГА, ВЧИТЕЛЯ –
ПЕРЕСТЮКА МИКОЛИ ОЛЕКСІЙОВИЧА

ПАМ’ЯТІ ВЧЕНОГО – БОЙЧУКА ОЛЕКСАНДРА АНДРІЙОВИЧА

Я. Й. Бігун. — 2024-10-13

ПАМ’ЯТІ ВЧЕНОГО – БОЙЧУКА ОЛЕКСАНДРА АНДРІЙОВИЧА

ПАМ’ЯТІ ВЧЕНОГО – СЛЮСАРЧУКА ВАСИЛЯ ЮХИМОВИЧА

Я. Й. Бігун — 2024-10-13

ПАМ’ЯТІ ВЧЕНОГО – СЛЮСАРЧУКА ВАСИЛЯ ЮХИМОВИЧА