Буковинський математичний журнал

V МІЖНАРОДНА НАУКОВА КОНФЕРЕНЦІЯ, ПРИСВЯЧЕНА 145 РІЧНИЦІ ВІД ДНЯ НАРОДЖЕННЯ ГАНСА ГАНА

2024-12-27T21:02:19+00:00

З 23 по 27 вересня 2024 року на факультеті математики та інформатики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича проходила V міжнародна наукова конференція, присвячена 145 річниці від дня народження Ганса Гана (1879 – 1934), видатного австрійського математика, професора Чернівецького (1909 – 1916), Боннського (1916 – 1921) та Віденського (1921 – 1934) університетів, члена-кореспондента Австрійської Академії наук.

КОЕФІЦІЄНТНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНОГО РІВНЯННЯ З СИЛЬНИМ СТЕПЕНЕВИМ ВИРОДЖЕННЯМ

2024-12-29T10:32:10+00:00

В області з відомими межами досліджується обернена задача для параболічного рівняння з сильним виродженням. Виродження рівняння спричинене степеневою функцією від часу при старшій похідній невідомої функції. Відомо, що молодший коефіцієнт рівняння є поліномом першого степеня за просторовою змінною з двома невідомими коефіцієнтами від часу. Задано крайові умови другого роду та значення теплових моментів у якості умов перевизначення. Встановлено умови існування та єдиності класичного розв'язку вказаної задачі.

РIЗНI ТИПИ КВАЗIМЕТРИЧНИХ I ЧАСТКОВО МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРIВ

2024-12-29T10:33:10+00:00

Вивчаються рівномірно неперервні відображення між квазіметрчними просторами і побудовано топологічний гомеоморфізм між двома компактними гаусдорфовими частково метричними просторами такий, що відображенн між відповідними квазіметричними просторами не є рівномірно неперервним. Цей приклад, зокрема, показує, що теорема 4.4 з \cite{Lu-2020} є хибною. Крім того, доводиться аналог теореми Гейне-Кантора про рівномірну неперервність довільного неперервного відображення $f:X\to Y$, визначеного на преметричному просторі $X$, який задовольняє деяку підсилену умову зліченної компактності, і набуває значень у рівномірному просторі $Y$. Також подано приклад неперервного відображення $f:X\to Y$, визначеного на компактному гаусдорфовому преметричному просторі $X$, і зі значеннями у рівномірному просторі $Y$, яке не є рівномірно неперервним.

ХАОТИЧНІ ДИНАМІЧНІ СИСТЕМИ ОПЕРАТОРІВ ЗСУВУ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В ЕКОНОМІЦІ

2024-12-29T10:33:19+00:00

У статті досліджуються хаотичні властивості операторів зваженого зсуву, які діють на (несепарабельному) гільбертовому просторі, що є одним із важливих об’єктів у теорії динамічних систем. Особливу увагу приділено аналізу умов, за яких такі оператори можуть бути топологічно транзитивними, гіперциклічними і часто гіперциклічними. Крім того, досліджено феномен хаосу Лі-Йорка, який передбачає існування незліченних множин точок із хаотичною поведінкою орбіт. Це дозволяє глибше зрозуміти природу динамічних систем, що характеризуються нерегулярністю і непередбачуваністю.У статті досліджуються хаотичні властивості операторів зваженого зсуву, які діють на (несепарабельному) гільбертовому просторі, що є одним із важливих об’єктів у теорії динамічних систем. Особливу увагу приділено аналізу умов, за яких такі оператори можуть бути топологічно транзитивними, гіперциклічними і часто гіперциклічними. Крім того, досліджено феномен хаосу Лі-Йорка, який передбачає існування незліченних множин точок із хаотичною поведінкою орбіт. Це дозволяє глибше зрозуміти природу динамічних систем, що характеризуються нерегулярністю і непередбачуваністю. У статті висвітлюються, як різні властивості операторів зваженого зсуву впливають на їхню динамічну поведінку, розглядаючи взаємодію між вагами оператора та структурою базового простору. Для ілюстрації запропоновано два приклади динамічних систем, які можна використовувати для моделювання поведінки цін на фінансових ринках. Перший приклад базується на простій лінійній моделі, де зміна ціни пропорційна поточному значенню. Побудована орбіта в цьому прикладі в загальному випадку не є щільною. У другому прикладі моделюється більш складна система, яка враховує залежність зміни ціни від попередніх значень, дивідендів та випадкових факторів. У цьому контексті оператор зваженого зсуву відіграє ключову роль, дозволяючи створити гіперциклічну динамічну систему, здатну адекватно відображати хаотичну поведінку цін. Застосування теорії хаосу до фінансових ринків є особливо актуальним, оскільки це дозволяє враховувати складну динаміку, нелінійність та вплив випадкових факторів на цінові зміни. Використання таких моделей може допомогти інвесторам краще розуміти природу ризиків, знаходити можливості для інвестицій та приймати більш обґрунтовані рішення в умовах невизначеності. Отримані результати мають також важливе значення для широкого спектра наукових досліджень у галузях математики, фізики та економіки, де вивчення хаотичних властивостей систем є центральним для розуміння їхньої поведінки.

АСИМПТОТИЧНА ЩІЛЬНІСТЬ НЕЩАСЛИВИХ ЧИСЕЛ

2024-12-29T10:33:26+00:00

Для натурального числа $n\in\mathbb N$ розглянемо суму квадратів усіх його цифр і позначимо її через $S^2(n)$. Покладемо $T_0(n)=n$, $T_1(n)=S^2(n)$, \dots, $T_{k+1}(n)=T_1(T_k(n))$ для $k\ge 1$. Число $n$ називається щасливим, якщо існує $k\ge 1$, таке, щоДля натурального числа $n\in\mathbb N$ розглянемо суму квадратів усіх його цифр і позначимо її через $S^2(n)$. Покладемо $T_0(n)=n$, $T_1(n)=S^2(n)$, \dots, $T_{k+1}(n)=T_1(T_k(n))$ для $k\ge 1$. Число $n$ називається щасливим, якщо існує $k\ge 1$, таке, що $T_k(n)=1$. Інакше, число $n$ називається нещасливим. Відомо, що для кожного нещасливого числа $n$ існує таке $k\ge 1$, що $T_k(n)\in C=\{4,16,37,58,89,145,42,20\}$. Якщо $c\in C$, то ми кажемо, що нещасливе число $n$ є $c$-нещасливим у випадку, коли $T_k(n)=c$ i $T_{k-1}(n)\not\in C$ для деякого $k\ge 1$. В даній роботі досліджується щільність $c$-нещасливих чисел. Одержано оцінки на верхню та нижню асимптотичні щільності $c$-нещасливих чисел та доведено, що натуральної щільності нещасливих чисел не існує.

НАПIВГРУПА СКIНЧЕННИХ ЧАСТКОВИХ ПОРЯДКОВИХ IЗОМОРФIЗМIВ ОБМЕЖЕНОГО РАНГУ НЕСКIНЧЕННОЇ ЛIНIЙНО ВПОРЯДКОВАНОЇ МНОЖИНИ

2024-12-29T10:34:41+00:00

Ми вивчаємо алгебричні властивості напівгрупи $\mathscr{O\!\!I\!}_n(L)$ скiнченних часткових порядкових iзоморфiзмiв рангу $\leq n$ нескінченної лiнiйно впорядкованої множини $(L,\leqslant)$. Зокрема описано її ідемпотенти, природний частковий порядок та відношення Ґріна на $\mathscr{O\!\!I\!}_n(L)$. Доведено, що напівгрупа $\mathscr{O\!\!I\!}_n(L)$ стійка та містить щільний ряд ідеалів, а також, що всі конґруенції на напівгрупі $\mathscr{O\!\!I\!}_n(L)$ є конґруенціями Ріса.

ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ТИПУ КОЛМОГОРОВА ДОВIЛЬНОГО ПОРЯДКУ З ОДНIЄЮ ГРУПОЮ ВИРОДЖЕННЯ

2024-12-29T10:34:53+00:00

Дослідження присвячене виродженим параболічним рівнянням з блочною структурою, які за певних умов є узагальненням добре відомого виродженого параболічного рівняння дифузії з інерцією А.М.Колмогорова. У цій праці сформульовано спеціальні умови Гельдера відносно просторових змінних на коефіцієнти таких рівнянь, за яких доведено існування класичного фундаментального розв'язку задачі Коші, отримано оцінки для нього та його похідних, доведено властивості такі, як нормальність, формулу згортки, єдиність. Також отримано коректну розв'язність задачі Коші у спеціальних вагових просторах та інтегральні зображення класичних розв'язків однорідних рівнянь у вигляді інтегралів Пуассона від функцій або узагальнених мір, якими задається початкова умова. Описано класи коректності задачі Коші. Отримані результати можна використати у подальших дослідженнях задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних вироджених параболічних рівнянь.

НЕГА-Q_s-ЗОБРАЖЕННЯ ЧИСЕЛ I ЙОМУ ВIДПОВIДНI ХВОСТОВI МНОЖИНИ

2024-12-29T10:34:57+00:00

В роботі обгрунтовується, що нега -$Q_s$-зображення є перекодуванням $Q_s$-зображення, воно породжує ідентичну метричну теорію. Доведено, що группа перетворень одиничного відрізку, які зберігають хвости нега-$Q_s$-зображення чисел є нескінченною групою, яка містить підгрупу зростаючих функцій.

НЕПЕРЕРВНI ФУНКЦIЇ, ОЗНАЧЕНI В ТЕРМIНАХ ДВОСИМВОЛЬНОГО G_2-ЗОБРАЖЕННЯ З ДВОМА РIЗНОЗНАКОВИМИ ОСНОВАМИ

2024-12-29T10:36:31+00:00

У роботі розглядаються неперервні функції, визначені на відрізку, аргумент і значення яких подається зображенням ($G_2$-зображення) у системі кодування з двома різнознаковими основами $g_0 \in [0,5;1)$ і $g_1=g_0-1$ та двосимвольним алфавітом $A=\{0;1\}$:
\[x=\alpha_1 g_{1-\alpha_1}+\sum\limits_{k=2}^{\infty}(\alpha_kg_{1-\alpha_k}\prod\limits_{j=1}^{k-1}g_{\alpha_j})\equiv
\Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...}.\] Серед них функції трьох класів.
Перший клас представляють функції, означені рівністю:
$$\varphi(x=\Delta^{G_2}_{\alpha_1...\alpha_n...})=\Delta^{G_2}_{r_1(\alpha_1)r_2(\alpha_2)...r_n(\alpha_n)...},
$$
де $(r_n)$ -- задана послідовність функцій $r_n: A\to A$. Доведено, що в цьому класі крім констант, тотожного перетворення відрізка, і функції:
\[f(x=\Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...})=\Delta^{G_2}_{[1-\alpha_1]\alpha_2...\alpha_n...}\]
інших неперервних функцій немає. Другий клас представляють функції:
\[ g(x=\Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...})=\Delta^{G_2}_{d(\alpha_1,\alpha_2)d(\alpha_2,\alpha_3)...
d(\alpha_n,\alpha_{n+1})d(\alpha_{n+1},\alpha_{n+2})...}, \mbox{ де } d:A\times A\to A.\] Доведено, що в цьому класі існує лише чотири неперервні функції: дві сталі, тотожне перетворення відрізка і оператор лівостороннього зсуву цифр $G_2$-зображення чисел.
Третій клас представляють неперервні строго зростаючі сингулярні функції (їх похідна рівна нулю майже скрізь у розумінні міри Лебега), означенні системою функціональних рівнянь:
\[\begin{cases}
f(g_0x)=q_0f(x),\\
f(g_0+(g_0-1)x)=q_0+(q_0-1)f(x),
\end{cases} q_0 \in [0,5;1), q_1=q_0-1.\]
Графіки функцій останнього класу є самоафінними, тобто структурно фрактальними. Знайдено вираз визначенного інтеграла по області визначення для функцій цього класу.

ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ВПОРЯДКОВАНИХ СТРУКТУР, ЕКВIВАЛЕНТНI ДО ПОВНОТИ ЗА ДЕДЕКIНДОМ

2024-12-29T10:36:44+00:00

Як відомо, повнота за Дедекіндом є одним з основних понять дійсного аналізу, яке виникає одразу при побудові прямої дійсних чисел. Оскільки ця властивість має багато застосувань в різних ситуаціях, то природно виникають альтернативні властивості, еквівалентні до повноти за Дедекіндом. У цій статті основна увага сконцентрована на описі таких властивостей, на доведенні еквівалентності до повноти і на окремих прикладах застосувань. Зокрема, введено модифіковане означення розрізів Дедекінда, що дало змогу класифікувати їх як головні і вільні розрізи, які слугують зручними моделями раціональних і ірраціональних чисел відповідно. Розглянуто аксіоми Кантора і Архімеда і їх зв'язок з повнотою за Дедекіндом у впорядкованих полях і у впорядкованих множинах. Знайдено зв'язок між виконанням аксіоми Архімеда і наявністю зліченної всюди щільної множини у впорядкованих полях, що задовольняють аксіому Кантора.

АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА МОДУЛЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є-СТIЛЬТЬЄСА ОДНОГО КЛАСУ УЗАГАЛЬНЕНИХ ЗГОРТОК БЕРНУЛЛI

2024-12-29T10:36:52+00:00

Досліджуються асимптотичні властивості перетворення Фур'є-Стілтьєса одного класу узагальнених згорток Бернуллі.
Акцент здійснюється на знаходження необхідних та достатніх умов рівності нулю, одиниці значення верхньої границі $L$ на нескінченності модуля відповідного перетворення Фур'є-Стілтьєса. Обчислено значення величини $L$ при певних умовах, накладених на елементи відповідної згортки.

ПММ ТА НПМ У ЧАСОВИХ РЯДАХ

2024-12-29T10:36:58+00:00

Основна увага в роботі сфокусована на розгляд, так званих, прихованих ланцюгів Маркова та їх аналогів і узагальнень. Зокрема розглянуто вплив прихованих ланцюгів Маркова та напівмарковських прихованих моделей на моделі часових рядів, які описують вартості акцій топових компаній станом на 2024 рік. Під час дослідження вдалося з'ясувати, що розгляд узагальненіших моделей дозволяє більш точно описувати динаміку вартості акцій, а отже, більш адекватно визначати основні характеристики реального процесу.

АНАЛІЗ МОДЕЛЕЙ ТИПУ СКЕЛЛАМА З ПЕРІОДИЧНИМИ РЕЖИМАМИ

2024-12-29T10:37:38+00:00

Розглянуто узагальнення моделі Скеллама. Висвітлено питання існування та стійкості стаціонарних і періодичних розв'язків моделі без збору та зі збором урожаю. Проведено комп'ютерний аналіз розв'язків моделі.

ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ЗI ЗРОСТАЮЧИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ, ЗАЛЕЖНИМИ ВIД ПАРАМЕТРА, ТА З ВИРОДЖЕННЯМ НА ПОЧАТКОВIЙ ГIПЕРПЛОЩИНI

2024-12-29T10:37:40+00:00

Для ультрапараболічного рівняння типу Колмогорова із залежними від параметра зростаючими коефіцієнтами та з виродженням на початковій гіперплощині побудовано фундаментальний розв'язок задачі Коші та досліджено його властивості. Коефіцієнти рівняння є досить гладкими, а їх ріст залежить від росту деякої функції. Такі властивості є важливими для побудови фундаментального розв'язку задачі Коші для рівняння типу Колмогорова зі зростаючими коефіцієнтими, залежними від змінних основної групи.

ОДИН КОНТИНУАЛЬНИЙ КЛАС ФРАКТАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ, ОЗНАЧЕНИХ В ТЕРМIНАХ $Q_s^*$-ЗОБРАЖЕННЯ

2024-12-29T10:37:52+00:00

У статті вводиться в розгляд один континуальний клас багатопараметричних функцій, означених в термінах поліосновного $s$-символьного $Q_s^*$-зображення чисел. \\ Обгрунтовуються структурні, фрактальні та тополого-метричні властивості множини \\ значень функції і множин рівнів в залежності від параметрів.

ПРО СЛАБКУ ГОРИЗОНТАЛЬНУ КВАЗIНЕПЕРЕРВНIСТЬ ТА СУКУПНУ КВАЗIНЕПЕРЕРВНIСТЬ МНОГОЗНАЧНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ

2024-12-29T10:37:56+00:00

Досліджується сукупна квазінеперервність зверху (знизу) многозначних відображень від двох змінних.Досліджується сукупна квазінеперервність зверху (знизу) многозначних відображень від двох змінних. Перенесено на випадок многозначних відображень деякі результати про сукупну квазінеперервність функцій від двох змінних. Для цього спочатку вводиться поняття слабкої горизонтальної квазінеперервності зверху (знизу). З допомогою цього поняття встановлються достатні увоми за яких многозначне відображення від двох змінних є сукпно квазінеперервним. Зокрема встановлено, що якщо $X$ -- берівський простір, простір $Y$ має зліченну псевдобазу, $Z$ -- регулярний простір і многозначне відображення $F:X\times Y \to Z$ слабко горизонтально квазінеперервне зверху та знизу та квазінеперервне знизу відносно другої змінної при значеннях першої змінної з деякої залишкової множини в $X$, то $F$ -- сукупно квазінеперервне знизу відображення. Подібний результат встановлено і для сукупної квазінеперервності зверху: якщо $X$ -- берівський простір, простір $Y$ має зліченну псевдобазу, $Z$ -- нормальний, простір і $F:X \times Y\to Z$ замкненозначне відображення, яке горизонтально квазінеперервне зверху та знизу та квазінеперервне зверху відносно другої змінної при значеннях першої змінної з деякої залишкової множини в $X$, то $F$ -- сукупно квазінеперервне зверху відображення. Також отримано необхідні та достатні умови того, що многозначне відображення від двох змінних є сукупно квазінеперервним зверху (знизу). Зокрема встановлено, що якщо $X$ -- берівський простір, простір $Y$ задовольняє другу аксіому зліченності, $Z$ -- метризовний сепарабельний простір, то компактнозначне многозначне відображення $F: X\times Y \to Z$ є сукупно квазінеперервне зверху і знизу тоді і тільки тоді, коли $F$ слабко горизонтально квазінеперервне зверху і знизу та $F^x$ квазінеперервне зверху і знизу для всіх $x$ з деякої залишкової множини в $X$.

ПРО АПРОКСИМАЦІЮ СТОХАСТИЧНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ У НЕСКІНЧЕННОВИМІРНИХ ПРОСТОРАХ

2024-12-29T10:38:45+00:00

У статті представлено детальну схему апроксимації у середньому квадратичному для еволюційних стохастичних рівнянь із запізненням у нескінченновимірних просторах. Основна увага приділяється заміні початкової системи з післядією еволюційною системою стохастичних рівнянь без післядії. Запропонований підхід передбачає розбиття інтервалу запізнення на підінтервали та побудову відповідної системи рівнянь, яка апроксимує поведінку початкової системи. Важливо зазначити, що кількість рівнянь у такій апроксимуючій системі збільшується зі зростанням кількості підінтервалів. Основний результат дослідження показує, що за умови, коли розбиття стає дедалі дрібнішим (тобто кількість підінтервалів прямує до нескінченності), відстань у середньому квадратичному між розв’язками рівняння із запізненням і розв’язками системи без запізнення прямує до нуля.

Теоретична основа методу апроксимації використовує ключові поняття та результати зі стохастичного аналізу в нескінченновимірних просторах, зокрема, для вирішення проблем, пов’язаних із функціональною природою післядії та необмеженістю простору станів. Дослідження не лише узагальнює попередні результати для скінченновимірних випадків до нескінченновимірного середовища, але й розширює методи, застосовані для детермінованих рівнянь із запізненням, на стохастичні системи. Методологія базується на класичній ідеї розкладу розв’язку рівняння із запізненням за формулою Тейлора за довжиною інтервалу запізнення h > 0 h>0. Такий підхід дозволяє замінити початкову задачу для рівняння із запізненням системою задач Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь, побудованих спеціальним чином.

Результати роботи мають значні практичні наслідки, особливо для систем, де запізнення є природними, таких як стохастичні системи управління, динаміка популяцій або нескінченновимірні системи, описувані стохастичними рівняннями в частинних похідних. Замінюючи складні системи із запізненнями більш простими системами без запізнень, запропонований метод не лише спрощує чисельні обчислення, але й забезпечує глибше розуміння динаміки таких систем. Доведення умов, за яких апроксимація є коректною, сприяє розвитку теоретичної бази стохастичних рівнянь із запізненнями у нескінченновимірних просторах та пропонує потужний інструмент для їх аналізу та моделювання.

ЦIЛОЧИСЛЕННI ТОВАРНI ВЕКТОРИ У МОДЕЛI ЕКОНОМIКИ ЕРРОУ-ДЕБРЕ

2024-12-29T10:38:50+00:00

Ми розглядаємо невід'ємні цілочисленні товарні вектори у моделі економіки Ерроу-Дебре. Наш основний результат є версією теореми Ерроу-Дебре про рівноважну ціну, адаптовану до випадку цілочисленних товарних векторів. Доведення базується на геометричній формі теореми Гана-Банаха та істотно використовує специфіку цілочисленного простору товарів. Наше доведення працює лише для одноточкової множини агентів, і ми не знаємо, чи можна його модифікувати для загального випадку, використовуючи ту ж саму ідею.

НIДЕ НЕ МОНОТОННА ФУНКЦIЯ ТИПУ СЕРПIНСЬКОГО, ПОВ’ЯЗАНА IЗ ЗОБРАЖЕННЯМ ЧИСЕЛ РЯДАМИ КАНТОРА

2024-12-29T10:39:23+00:00

У роботі означено ніде не монотонну функцію, аргумент якої представлений у \\ канторівській системі числення з послідовністю натуральних основ $(s_k)$, де $s_k=2k+1$:
$$x=\frac{\alpha_1}{s_1}+\frac{\alpha_2}{s_1\cdot s_2}+...+\frac{\alpha_k}{s_1\cdot s_2\cdot...\cdot s_k}+...\equiv \Delta^{(s_k)}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k \ldots},$$
де $\alpha_k(x) \in A_k \equiv \{0,1,...,s_k-1\}$, $s_k=2k+1$. Значення функції визначається ланцюговою залежністю цифр $Q_s$-зображення числа від цифр зображення аргументу і мають \\ наступний вигляд:
$$g(x)=g(\Delta^{(s_k)}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x) \ldots})=\Delta^{Q_3}_{\beta_1 \beta_2 \ldots \beta_k \ldots},\:\:
\beta_k \in A_3\equiv\{0,1,2\},$$ де $\beta_1=\gamma(\alpha_1)$ і $\beta_k= \gamma(\alpha_k),\:\:\text{якщо } c_k=0 $ або $\beta_k= 2-\gamma(\alpha_k), \:\:\text{якщо } c_k\ne 0.$
Також $c_1=c_2=0$, $c_k= c_{k-1},\:\:\text{якщо }\:\: \alpha_{k-1}\ne \frac{s_{k-1}-1}{2}$ або $ c_k=1-c_{k-1}, \:\:\text{якщо } \:\:\alpha_{k-1}=\frac{s_{k-1}-1}{2} $ і
$\gamma(\alpha) \in A_3$.

Описано властивості її рівнів, диференціальні та фрактальні властивості.

ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ В КРАЙОВIЙ ЗАДАЧI ДЛЯ 2B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ З IНТЕГРАЛЬНОЮ НЕЛОКАЛЬНОЮ УМОВОЮ

2024-12-29T10:39:33+00:00

Дослiджується задача вибору оптимального керування системою, що описується крайовою задачею для 2b-параболiчних рiвнянь з iнтегральною нелокальною умовою i обмеженим внутрiшнiм, межовим та стартовим керуванням. Критерiй якостi задається сумою об’ємних та поверхневих iнтегралiв. За допомогою функцiї Грiна загальної крайової задачi для 2b-параболiчного рiвняння встановлено iснування, єдинiсть та iнтегральне зображення розв’язкiв нелокальної крайової задачi для 2b-параболiчного рiвняння з iнтегральною умовою за часовою змiнною. Знайдено оцiнки розв’язку нелокальної крайової задачi та його похiдних в гельдерових просторах. Одержанi результати використанi для встановлення необхiдних i достатнiх умов iснування оптимального розв’язку систем, що описуються параболiчною крайовою задачею з нелокальною iнтегральною умовою за часовою змiнною. Розглянуто випадки обмежених внутрiшнiх, стартових та межових керувань.

СИНГУЛЯРНI ФУНКЦIЇ, ПОВ’ЯЗАНI З МАРКОВСЬКИМ ЗОБРАЖЕННЯМ ЧИСЕЛ

2024-12-29T10:39:33+00:00

У статті вводиться в розгляд трисимвольне марковське зображення чисел, що \\ грунтується на розкладі числа в ряд
\[x=\sum\limits_{i=0}^{\alpha_1-1}{q_i}+\sum_{k=1}^{\infty}\left({q_{\alpha_1}\sum\limits_{i=0}^{\alpha_k-1}{q_{\alpha_ki}}\prod_{j=1}^{k-1}{q_{\alpha_j\alpha_{j+1}}}}\right)= \Delta_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_k...}, \alpha_k\in A=\{0,1,2\},\]
де $\|q_{ij}\|$ --- додатня стохастична матриця (матриця перехідних ймовірностей), $(q_0;q_1;q_2)$ --- додатний стохастичний вектор. Дане зображення є узагальненням класичного трійкового зображення чисел і співпадає з ним при $q_i=\frac{1}{3}=q_{ij}$ $\forall i,j\in A$. Описано тополого-метричні властивості циліндрів марковського зображення, зокрема виписано основне метричне \\ відношення довжин циліндрів попереднього і наступного рангів. Введено поняття \\ марковсько-нормального числа і доведено, що множина чисел, асимптотична частота кожної цифри $i$ яких відповідно рівна $\sum\limits_{i\in A}q_jq_{ji}$, $i,j\in A$, має повну міру Лебега.

Введена в розгляд функція (інверсор цифр), означена рівністю
\[I(x=\Delta_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...})=\Delta_{[2-\alpha_1][2-\alpha_2]...[2-\alpha_n]...}.\]
Доведено, що функція $I$ є неперервною строго спадною функцією на відрізку $[0;1]$. На основі поняття циліндричної похідної знайдено вираз похідної функції $I$ в точці. \\ Використовуючи нормальну властивість числа за його марковським зображенням і \\ отриманий вираз похідної знайдено умови, рівності похідної нулю майже в кожній точці одничного відрізка у розумінні міри Лебега, тобто умови сингулярності функції $I$.