РЕГУЛЯРНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧI З IНТЕГРАЛЬНОЮ УМОВОЮ ДЛЯ РIВНЯННЯ З ДРОБОВОЮ ПОХIДНОЮ ЗА ЧАСОМ

Анотація

Прямі й обернені задачі для рівнянь із дробовими похідними виникають у різних галузях науки і техніки. Відомі умови класичної розв'язності задачі Коші та крайових задач для дифузійно-хвильових рівнянь із дробовими похідними. Відомі оцінки компонент вектор-функції Гріна задачі Коші для таких рівнянь.

Ми вивчаємо обернену задачу визначення залежної від просторових змінних компоненти правої частини рівняння з дробовою похідною за часом при відомих функціях із простору типу Шварца гладких швидко спадаючих функцій чи зі значеннями в них. Також розглядаємо таку задачу при даних із деякого ширшого простору гладких, спадаючих до нуля на нескінченності функцій чи зі значеннями в них. Знаходимо достатні умови однозначної розв'язності оберненої задачі при інтегральній за часом додатковій умові
\[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}u(x,t)\eta_1(t)dt=\Phi_1(x), \;\;\;x\in \Bbb R^n\]
де $u$ -- невідомий розв'язок задачі Коші, $\eta_1$ -- задана неперервна функція.

Використовуючи метод вектор-функції Гріна,
зводимо задачу до розв'язання інтегродиференціального рівняння у певному класі гладких, спадаючих до нуля на нескінченності функцій. Доводимо його однозначну розв'язність.

Відомі різні методи наближеного розв'язання прямих і обернених задач для рівнянь із дробовими похідними, переважно для одновимірного просторового випадку. Із наших результатів випливає метод побудови наближеного розв'язку оберненої задачі в багатовимірному просторовому випадку. Він грунтується на використанні відомих методів чисельного розв'язання інтегродиференціальних рівнянь. Ефективним для побудови чисельного розв'язку одержаного інтегродиференціального рівняння є застосування перетворення Фур'є за просторовими змінними, оскільки перетворення Фур'є компонент вектор-функції Гріна можна явно виписати.