Потужнiсть множини неперервних функцiй, якi зберiгають цифру 1 Q3-зображення числа

  • N. A. Vasylenko Інститут математики НАН України
  • M. V. Pratsiovytyi Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова
  • Y. P. Maslova Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова
Ключові слова: $Q_3$-зображення дійсних чисел, неперервна функція, потужність множини неперервних функцій, збереження цифри $1$ $Q_3$-зображення числа

Анотація

Робота присвячена дослідженню потужності множини $P_c$ неперервних на відрізку $[0;1]$ функцій, які зберігають цифру 1 у трисимвольному самоподібному $Q_3$ -- зображенні числа, що є узагальненням класичного трійкового зображення: $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^{-k}\alpha_k(x) \equiv\Delta^{3}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots}$, де $\alpha_n(x) \in A_3\equiv\{0,1,2\}$. Всі функції класу $P_c$ мають наступний вигляд:
\[
y=f(x)=f(\Delta^{Q_3}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_n(x) \ldots})=\Delta^{Q_3}_{\gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_n \ldots},\:\:\text{де}\:\: \alpha_n\in A_3, \gamma_n \in A_3,
\]
\[
x=\Delta^{Q_3}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_n(x) \ldots} \equiv \beta_{\alpha_1(x)}+ \sum^\infty_{k=2}\left[\beta_{\alpha_k(x)}\prod^{k-1}_{j=1}q_{\alpha_j(x)}\right]
\]
і при цьому $\gamma_n= \gamma_n(\alpha_1(x), \alpha_2(x), \ldots, \alpha_n(x))$, причому $\gamma_n =1$ тоді і тільки тоді, коли $\alpha_n(x) =1$.

Встановлено, що множина $P_c$ є континуальною. Отримано аналітичний вираз функцій класу $P_c$,
вивчено варіаційні та інтегральні їхні властивості.

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.

Посилання

References
[1] Pratsiovytyi M. Fractal approach to investigations of singular distributions, National Pedagogical
Dragomanov University, Kyiv, 1998. (in Ukrainian)
[2] Turbin A.F., Pratsiovytyi M.V. Fractal sets, functions and distributions, Naukova Dumka, Kyiv, 1992.
(in Russian)
[3] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined in terms of Q-representation. Int.
J. of Math. Anal. 2013, 7(64), 3155–3169. doi:10.12988/ijma.2013.311278
[4] Zamriy I.V., Pratsiovytyi M.V. Singularity of the digit inversor in Q3-representation of the fracti-
onal part of a real number, its fractal and integral properties. Nonlinear oscil. 2015, 18(1), 55–70. (in
Ukrainian)
[5] Pratsiovytyi M.V., Zamriy I.V. Inversor of digits of Q3-representation for fractional part of real
number as a solution of the system of three functional equations. Naukovyi Chasopys NPU im.
M.P. Dragomanova. Ser. 1. Phizyko-matematychni Nauky 2013, 15, 156–167. (in Ukrainian)
[6] Pratsiovytyi M.V., Zamriy I.V. Continuous functions preserving digit 1 Q3-representation of a number.
Bukovinian Math. J. 2015, 3(3-4), 142–159. (in Ukrainian)
[7] Pratsiovytyi M.V., Kalashnikov A.V. On One Class of Continuous Functions with Complicated Local
Structure, Most of which are Singular or Nondifferentiable. Trudy IPMM NAN Ukrainy 2011, 23,
178–189. (in Ukrainian)
[8] Pratsiovytyi M.V., Kalashnikov A.V. Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related
to the Q-Representation of Real Numbers. Ukr. Math. J. 2013, 65(3), 405–417. (in Ukrainian)
[9] Pratsiovytyi M. Distributions of random variables with independent Q-symbols, Asymptotic and applied
problems in the theory of random evolutions 1990, 92–101. (in Russian)
Опубліковано
2019-09-07
Як цитувати
[1]
Vasylenko, N., Pratsiovytyi, M. і Maslova, Y. 2019. Потужнiсть множини неперервних функцiй, якi зберiгають цифру 1 Q3-зображення числа. Буковинський математичний журнал. 7, 1 (Вер 2019).