Про взаємозв’язки між вузькими операторами та операторами Море на просторах Lp

Анотація

Ми порівнюємо два класи лінійних неперервних операторів, заданих на просторах $L_p$- вузькі оператори та оператори Море. Обидва класи можна розглядати як узагальнення поняття компактного оператора на цих просторах. Добре відомо, що кожний компактний оператор є вузьким. Ми доводимо, що кожний оператор Море також є вузьким. Отже, природним є запитання: який зв’язок існує між цими класами? Ми показуємо, що у загальному випадку вони непорівнянні. Так, на просторі $L_2$ існує невузький оператор Море, а на просторах $L_p$, $1<p<\infty$ існує вузький оператор, який не є оператором Море.

We compare two classes of continuous Ііпеаг operators on $L_p$-spaces - narrow operators and Maurey operators. Both classes can be considered as generahzations of the notion of a compact operator on the spaces Lp. It is well known that every compact operator is narrow. We prove that every Maurey operator is narrow. So, the following question naturally arises: what is the connection between these classes? We show that they are incomparable, in general. More precisely, there exists a non-narrow Maurey operator on $L_2$, and there is a narrow non-Maurey operator on $L_p$ for $1<p<\infty$.