ВЛАСТИВОСТI IНТЕГРАЛIВ ТИПУ ПОХIДНИХ ВIД ОБ’ЄМНОГО ПОТЕНЦIАЛУ ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО $\overrightarrow{2b}$ -ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ТИПУ КОЛМОГОРОВА

  • V. S. Dron' Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача
  • I. P. Medyns'kyi Національний університет «Львівська політехніка»
Ключові слова: $\overrightarrow{2b}$-параболічне рівняння типу Колмогорова, інтеграл типу похідних від об’ємного потенціалу, вагова гельдерова норма, простір Гельдера зростаючих функцій

Анотація

При побудові і дослідженні фундаментального розв'язку, встановленні коректної розв'язності задачі Коші та одержанні оцінок розв'язків параболічних рівнянь важливе значення мають властивості відповідних об'ємних потенціалів. Такі властивості встановлено для параболічних за Петровським і $\overrightarrow{2b}$-параболічних за Ейдельманом рівнянь як без усяких вироджень, так і з виродженнями на початковій гіперплощині. Також вивчалися об'ємні потенціали для вироджених параболічних типу Колмогорова (ультрапараболічних типу Колмогорова) рівнянь довільного порядку. Проте лише для рівнянь другого порядку були встановлені властивості об'ємних потенціалів із густиною з просторів Гельдера обмежених і зростаючих при $|x|\rightarrow\infty$ функцій.

Такі властивості зручно отримувати, якщо попередньо довести твердження про властивості інтегралів типу похідних від об'ємних потенціалів. Ці властивості описуються належністю таких інтегралів до відповідних функціональних просторів залежно від того, до яких просторів належить густина та ядро інтеграла.

У статті розглядаються інтеграли, які мають структуру та властивості, подібні до похідних від об’ємних потенціалів, породжених фундаментальним розв’язком задачі Коші для виродженого $\overrightarrow{2b}$-параболічного рівняння типу Колмогорова.
Коефіцієнти цього рівняння залежать тільки від часової змінної.
Залежно від розмірності груп просторових змінних рівняння може вироджуватися за двома або однією групою просторових змінних, або навіть може бути невиродженним $\overrightarrow{2b}$-параболічним за Ейдельманом рівнянням.

Для побудови просторів Гельдера використовуються спеціальні відстані та вагові норми. Відстані враховують анізотропність за просторовими змінними рівняння, яке породжує інтеграли, що розглядаються. Ваговими функціями є експоненти, які необмежено зростають при $|x|\rightarrow\infty$ і тип їх зростання спеціальним способом залежить від змінної $t$.

Результати роботи можуть бути використані для встановлення коректної розв'язності задачі Коші та оцінок розв'язків даного неоднорідного рівняння у відповідних вагових просторах Гельдера.

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.

Посилання

References
[1] Eidelman S.D. Parabolic Systems. North-Holland, Amsterdam, 1969 (Russian edition. Nauka, Moskow,
1964).
[2] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type. Birkhauser. Basel, 2004, Ser. Operator Theory: Adv.
and Appl., Vol. 152. https://doi.org./10.1007/978-3-0348-7844-9.
[3] Dron’ V.S., Ivasyshen S.D., Medynsky I.P. Properties of integrals which have the type of derivatives
of volume potentials for one Kolmogorov type ultraparabolic arbitrary order equation. Carpatian Math.
Publ. 2019, 11 (2). 268–280. doi:10.15330/cmp.11.2.268-280
[4] Ivasyshen S.D., Medynsky I.P. Properties of integrals which have the type of derivatives of volume
potentials for parabolic systems with degeneration on the initial hypeplane. Mat. Studii 2000, 13(1),
33–46.
[5] Dron’ V.S. On correct solvability in weighted Holder spaces for the Cauchy problem for a class of
degenerate parabolic equations of the Kolmogorov type. Nauk. Visnyk Chernivtsi University 2000, No.76,
32–41 (in Ukrainian).
[6] Dron’ V.S., Ivasyshen S.D. On properties of the volume potential and correct solvability of the Cauchy
problem for a model ultraparabolic equation. Nauk. Visnyk Chernivtsi University 1999, No.46, 36–43
(in Ukrainian).
[7] Dron’ V.S., Ivasyshen S.D. Properties of the volume potential for one class ultraparabolic equation of
arbitrary order. Bukovinian Math. J. 2016, 4(3–4), 47–56 (in Ukrainian).
[8] Dron’ V.S., Ivasyshen S.D. On smoothness of volume potential for degenerate
−→
2b-parabolic equations of
Kolmogorov type. Nonclassical problems of the theory of differential equations: Call. of scientific works
dedicated to 80-anniversary of B.Yo.Ptashnyk. IAPMM, Lviv, 2017, 38–53 (in Ukrainian).
[9] Ivasyshen S.D., Voznyak O.G. The Cauchy problem for parabolic systems with degeneration on the
initial hypeplane. Dopovidi AN Ukrainy 1994, No.6, 7–11 (in Ukrainian).
[10] Ivasyshen S.D., Eidelman S.D.
−→
2b-parabolic systems. Trudy Sem. Funkt. Anal. Kiev, Institute of
Mathematics 1968, 1, 3–175, 271–273 (in Russian).
[11] Ivasyshen S.D., Medynsky I.P. On correct solvability of parabolic systems with degeneration on the
initial hypeplane. Nauk. Visnyk Chernivtsi University 2000, No.76, 71–76 (in Ukrainian).
[12] Ivasyshen S.D., Medynsky I.P. Properties of integrals which have the type of derivatives of volume
potentials for
−→
2b-parabolic systems with degeneration on the initial hypeplane. Mat. Metody Fiz.-Mech.
Polya 2002, 45(4), 76–86 (in Ukrainian).
[13] Ivasyshen S.D., Medynsky I.P. Cauchy problem for
−→
2b-parabolic systems with degeneration on the initial
hypeplane. Mat. Metody Fiz.-Mech. Polya 2003, 46(3), 15–24 (in Ukrainian).
[14] Medynsky I.P. On a priori estimates for solutions of parabolic systems with degeneration on the initial
hypeplane. Visnyk Nat. Univ. Lvivska Polytechnika 2000, No.407, 185–194 (in Ukrainian).
Опубліковано
2021-12-27
Як цитувати
[1]
Dron’, V. і Medyns’kyi, I. 2021. ВЛАСТИВОСТI IНТЕГРАЛIВ ТИПУ ПОХIДНИХ ВIД ОБ’ЄМНОГО ПОТЕНЦIАЛУ ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО $\overrightarrow{2b}$ -ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ТИПУ КОЛМОГОРОВА. Буковинський математичний журнал. 9, 2 (Груд 2021). DOI:https://doi.org/10.31861/bmj2021.02.01.