НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА ДЛЯ ДЕЯКИХ СТЕПЕНЕВИХ РЯДIВ

  • A. O. Kuryliak Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, Україна
  • O. B. Skaskiv Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, Україна
Ключові слова: максимум модуля, максимальний член, подвійний степеневий ряд, нерівність типу Вімана

Анотація

Через $\mathcal{A}^2$ позначимо клас аналітичних функцій виглядуЧерез $\mathcal{A}^2$ позначимо клас аналітичних функцій вигляду$f(z)=\sum_{n+m=0}^{+\infty}a_{nm}z_1^nz_2^m,$з областю збіжності $\mathbb{T}=\{z=(z_1,z_2)\in\mathbb C^2\colon|z_1|<1,\ |z_2|<+\infty\}=\mathbb{D}\times\mathbb{C}$ і$\frac{\partial}{\partial z_2}f(z_1,z_2)\not\equiv0$ в $\mathbb{T}.$ У цій статті ми доведемо деякі аналоги нерівності Вімана для аналітичних функцій $f\in\mathcal{A}^2$. Нехай функція $h\colon \mathbb R^2_+\to \mathbb R_+$ така, що$h$ неспадна по кожній змінній і $h(r)\geq 10$ для всіх $r\in T:=(0,1)\times (0,+\infty)$і $\iint_{\Delta_\varepsilon}\frac{h(r)dr_1dr_2}{(1-r_1)r_2}=+\infty$ для деякого $\varepsilon\in(0,1)$, де $\Delta_{\varepsilon}=\{(t_1, t_2)\in T\colon t_1>\varepsilon,\ t_2> \varepsilon\}$.Будемо говорити, що $E\subset T$ є множиною скінченної $h$-міри на\ ${T},$якщо $\nu_{h}(E){:=}\iint\limits_{E\cap\Delta_{\varepsilon}}\frac{h(r)dr_1dr_2}{(1-r_1)r_2}<+\infty$ для деякого $\varepsilon>0$. Для $r=(r_1,r_2)\in T$ і функції $f\in\mathcal{A}^2$ позначимо\begin{gather*}M_f(r)=\max \{|f(z)|\colon  |z_1|\leq r_1,|z_2|\leq r_2\},\\mu_f(r)=\max\{|a_{nm}|r_1^{n} r_2^{m}\colon(n,m)\in{\mathbb{Z}}_+^2\}.%\mathfrak{M}_f(r)=\sum_{n+m=0}^{+\infty}|a_{nm}|r_1^nr_2^m.\end{gather*}Доведено таку теорему:{\sl Нехай $f\in\mathcal{A}^2$. Для кожного $\delta>0$ існує множина $E=E(\delta,f)$ асимптотично скінченної $h$-міри на\ ${T}$ така, що для всіх $r\in (T\cap\Delta_{\varepsilon})\backslash E$ виконується нерівність \begin{equation*} M_f(r)\leq\frac{h^{3/2}(r)\mu_f(r)}{(1-r_1)^{1+\delta}}\ln^{1+\delta} \Bigl(\frac{h(r)\mu_f(r)}{1-r_1}\Bigl)\cdot\ln^{1/2+\delta}\frac{er_2}{\varepsilon}. \end{equation*}}

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.

Посилання

References
[1] Skaskiv O.B., Kuryliak A.O. Wiman’s type inequality for analytic and entire functions and h-measure
of an exceptional sets. Carpathian Math. Publ. 2020, 12 (2), 492–498. doi: 10.15330/cmp.12.2.492-498
[2] Polya G., Szego G. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. V.2, Berlin, Springer, 1925.
[3] Valiron G. Functions analytiques. Paris: Press Univer. de France, 1954.
[4] Wittich H. Neuere Untersuchungen uber eindeutige analytische Funktionen. Berlin-Gottingen-
Heidelberg: Springer-Verlag, 1955.
[5] Rosenbloom P.C. Probability and entire functions. Stud. Math. Anal. and Related Topics, Stanford:
Calif. Univ. Press., 1962, 325–332.
[6] Goldberg A.A., Levin B.Ja., Ostrovsky I.V., Entire and meromorphic functions. Results of scientific
and technical. modern. probl. mat. fundam. guide. VINITI, 1990, 85, 5–186.
[7] Skaskiv O.B., Zrum O.V. On an exeptional set in the Wiman inequalities for entire functions. Mat.
Stud., 2004, 21 (1), 13–24. (in Ukrainian)
[8] O.B. Skaskiv, P.V. Filevych, On the size of an exceptional set in the Wiman theorem. Mat. Stud. 1999,
12 (1), 31–36. (in Ukrainian)
[9] Suleymanov N.V. An estimate of the Wiman-Valiron type for power series with a finite radius of
convergence and its sharpness. DAN USSR, 1980, 253 (4), 822–824. (in Russian)
[10] Ko˝vari T. On the maximum modulus and maximal term of functions analytic in the unit disc. J. London
Math. Soc. 1996, 41, 129–137. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-41.1.129
[11] Skaskiv O.B., Kuryliak A.O. Direct analogues of Wiman’s inequality for analytic functions in the unit
disk. Carpathian Math. Publ. 2010, bf2, (1), 109–118. (in Ukrainian)
[12] Kuryliak A.O., Tsvigun V.L. Wiman’s type inequality for multiple power series in an unbounded cylinder
domain. Mat. Stud. 2018, 49 (1), 29–51.
[13] Kuryliak A.O., Shapovalovska L.O., Skaskiv O.B. Wiman’s type inequality for some double power series.
Mat. Stud. 2013, 39 (2), 134–141.
[14] Kuryliak A., Skaskiv O., Tsvihun V. Levy’s phenomenon for analytic functions in D X C. Mat. Stud.
2016, 46 (2), 121–129.
[15] Skaskiv O.B., Filevych P.V. On the size of an exceptional set in the Wiman theorem. Mat. Stud. 1999,
12 (1), 31–36. (in Ukrainian)
[16] Salo T.M., Skaskiv O.B., Trakalo O.M. On the best possible description of exeptional set in Wiman-
Valiron theory for entire function. Mat.Stud. 2001, 16 (2), 131–140.
[17] Skaskiv O.B., Trakalo O.M. On exeptional set in Borel relation for multiple entire Dirichlet series. Mat.
Stud. 2001, 15 (2), 163–172. (in Ukainian)
[18] Filevych P.V. An exact estimate for the measure of the exceptional set in the Borel relation for entire
functions. Ukrainian Math. J. 2001., 53 (2), 328–332. https://doi.org/10.1023/A:1010489609188
[19] Skaskiv O.B. Estimates of measures of exeptional sets in the Wiman-Valiron theory. Nonlinear. bound.
probl. Collect. sc. proc. 2001. 11, Donetsk, 186–190.
[20] Skaskiv O.B., Trakalo O.M. Sharp estimate of exceptional set in Borel’s relation for entire functions of
several complex variables. Mat. Stud. 2002, 18 (1), 53–56. (in Ukainian)
[21] Skaskiv O.B., Zikrach D. Yu. On the best possible description of an exceptional set in asymptotic
estimates for Laplace–Stieltjes integrals. Mat. Stud. 2011. 35 (2), 131–141.
[22] Salo T.M., Skaskiv O.B. Minimum modulus of lacunary power series and h-measure of exceptional sets.
Ufa Math. J. 2017, 9 (4), 135–144. doi:10.13108/2017-9-4-135
[23] Skaskiv O.B. On certain relations between the maximum modulus and the maximal term of an entire
Dirichlet series, Math. Notes. 1999, 66 (2), 223–232. https://doi.org/10.1007/BF02674881 Transl. from
Math. Notes, 1999. 66 (2), 282–292.
[24] Skaskiv O.B. On the classical Wiman’s inequality for entire Dirichlet series. Visn. Lviv. un-tu, ser.
mekh.-mat. 1990. 54, 180–182. (in Ukrainian)
[25] Kuryliak A.O., Ovchar I.E., Skaskiv O.B. Wiman’s inequality for Laplace integrals. Int. Journal of Math
Analysis. 2014, 8, 381–385. http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2014.4232
[26] Skaskiv O., Bandura A. Asymptotic estimates of positive integrals and entire functions, Lviv, Ivano-
Frankivsk, Publisher O.M. Goliney, 2015, 108 p. (in Ukrainian)
[27] Gopala Krishna J., Nagaraja Rao I.H. Generalised inverse and probability techniques and some funda-
mental growth theorems in Ck. J. Indian Math. Soc. 1977, 41, 203–219.
[28] Fenton P. C. Wiman–Valiron theory in two variables. Trans. Amer. Math. Soc. 1995, 347 (11), 4403–
4412.
[29] Schumitzky A. Wiman-Valiron theory for functions of several complex variables. Ph. D. Thesis: Cornel.
Univ., 1965.
[30] Skaskiv O.B., Zrum O.V. Wiman’s type inequality for entire functions of two complex variables with
rapidly oscilic coefficient. Mat. metods and fys.-mekh. polya. 2005, 48 (4), 78–87. (in Ukrainian)
[31] Skaskiv O.B., Zrum O.V. On inprovement of Fenton’s inequality for entire functions of two complex
variables. Math. Bull. Shevchenko Sci. Soc. 2006, 3, 56–68. (in Ukrainian)
[32] Zrum O.V., Skaskiv O.B. On Wiman’s inequality for random entire functions of two variables. Mat.
Stud. 2005, 23 (2), 149–160. (in Ukrainian)
[33] Kuryliak A.O., Skaskiv O.B. Wiman’s type inequalities without exceptional sets for random entire func-
tions of several variables. Mat. Stud. 2012, 38 (1), 35–50.
Опубліковано
2021-09-13
Як цитувати
[1]
Kuryliak, A. і Skaskiv, O. 2021. НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ВIМАНА ДЛЯ ДЕЯКИХ СТЕПЕНЕВИХ РЯДIВ. Буковинський математичний журнал. 9, 1 (Вер 2021).